O potencial gravitacional \phi de uma partícula de massa M num ponto situado a uma distância x da partícula é
\phi(x) = -G M/{\vert x\vert}, onde G é a constante gravitacional universal e M é a massa da nossa partícula.
Daqui para frente nós vamos assumir que G = 1.
Dado um sistema de partículas posicionadas nos pontos (x_i)_{i=0}^N o potencial gravitacional gerado por esse sistema de N partículas é dado por
\phi(x) = -\sum_{i=1}^N \frac{m_i}{\vert x - x_i\vert}.
O mesmo vale para uma distribuição contínua de matéria,
e nesse caso o potential gravitacional vira \phi(x) = \int_B \frac{dm(y)}{\vert y - x\vert} = \int_B dy \frac{\rho(y)}{\vert y - x\vert}, onde \rho(y) é função de densidade da distribuição de massa no corpo B.
Nessa última equação nós estamos supondo que x,y são vetores bi-,tri-dimensionais etc. e que dy é uma forma de volume, ou elemento de volume.
Vale a pena ressaltar aqui que o potential gravitacional em qualquer dos casos acima satisfaz a chamada equação de Poisson,
\triangle \phi = \rho(x),
onde \triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} é o operador de Laplace. Por quê? Consulte o seu livro favorito de mecânica clássica.
Portanto dada uma distribuição de massa \rho(x) nós podemos tentar resolver para \phi(x) para determinar o potencial gravitacional definido pelo corpo B. Pela mesma razão, o operador \triangle aparece em eletromagnetismo clássico na determinação do potential elétrico definido por uma distribuição de cargas \rho(x).
No caso de uma massa puntual, a densidade é uma função delta e \rho(x) = \delta(x - x_0) onde x_0 é a localização da massa, ou carga no espaço.
A solução da equação de Laplace é para uma massa ou carga puntual é chamada de função de Green ou função de influência da carga em x_0.
No caso do operador de Laplace essa função de Green é exatamente o potencial gravitacional de uma partícula massiva ou carga puntual e é dada (módulo constantes de proporcionalidade) por \phi(x) = \frac{1}{\vert x - x_0\vert}.
Note que para uma distribuição de carga, ou de massa, contínua o potencial gravitacional é a convolução da função de Green com a distribuição de massa \rho(x).
Vamos considerar agora as soluções da equação de Laplace no plano.
Isto é, em seguida nós vamos estudar a equação
u_{xx} + u_{yy} = 0, ou ainda
(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2})u = 0.
Nós veremos em breve que existe uma relação profunda entre teoria potencial (soluções da equação de Laplace) e teoria de funções no plano complexo \mathbb{C}.
Para começar vamos recordar alguma notação do curso de cálculo complexo. Seja z = x + \sqrt{-1}y onde \sqrt{-1} = i é a constante imaginária.
No plano complexo \mathbb{C} nós podemos definir dois operadores lineares,
\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} ), e
\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} ).
Nós dizemos que f(z,\bar{z}) = u(x,y) + \sqrt{-1} v(x,y), diferenciável, é analítica (complexa) num aberto U se
\frac{\partial}{\partial \bar{z}} f(z,\bar{z})=0 em U. Isso significa que f = f(z) somente e que f(z) (corolário) pode ser expandida como uma série de Taylor infinita em z no aberto U. O aberto U pode ser uma vizinhança (bola) de algum ponto z_0 fixo.
Funções analíticas complexas são também chamadas de holomorfas.
As partes real e imaginária da equação \frac{\partial}{\partial \bar{z}} f(z,\bar{z})=0 são exatamente as equações de Cauchy-Riemann do cálculo complexo:
\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} ) (u(x,y) + i v(x,y)) = 0
\Rightarrow u_x - v_y = 0, v_x + u_y = 0.
Você pode verificar que \triangle = 4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \bar{z}} e portanto as partes reais de imaginárias de qualquer função holomorfa é harmônica!
O conhecimento desse fato simples nos presenteia com um estoque gigantesco de funções harmônicas. Portanto dado f(z) harmônica, \log f(z) é harmônica também. Use a sua imaginação para criar outros exemplos.
Nós demonstramos que a parte real (ou imaginária) de toda função holomórfica é harmônica. Será que a recíproca é verdadeira? Em geral sim.
Teorema 1. Num domínio simplesmente conexo, toda função harmônica é a parte real de uma função analítica complexa, módulo uma constante puramente imaginária.
Nós queremos determinar f = u + iv, com u dado.
Mas u_x - v_y = 0 e u_y + v_x=0,
e portanto
v(x,y) = integral de linha de \nabla v de (x_0,y_0) fixo até (x,y).
Mas \nabla v = (-u_y,u_x) e as funções u_x,u_y são dadas. Como o domínio é simplesmente conexo,
o valor da integral não depende do caminho e a única escolha feita foi o início do caminho de integração.
Portanto v fica unicamente determinada módulo uma constante imaginária, como nós queriamos demonstrar.
Portanto a teoria das funções analíticas, e funções harmônicas (soluções da equação de Laplace) coincidem no plano.
Teorema 2. (O teorema do valor médio.) O valor médio de uma função harmônica ao longo de um círculo é igual ao valor dessa função no centro do círculo.
Suponha que o centro do círculo esteja localizado na origem, e suponha que o raio do círculo é R. Isso pode ser feito sem perda de generalidade.
A demonstração é a seguinte. Como nós sabemos, u = parte real de f(z) para algum f(z) definido numa vizinhança gorda do disco limitado pelo círculo. .
Portanto, pela fórmula integral de Cauchy do cálculo complexo,
f(0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} dz \frac{f(z)}{z} = \frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi} f(R\exp(i\phi)) d\phi, e f = u + i v. Separando as partes reais e imaginárias nos dois lados da última igualdade nós obtemos o resultado desejado.
Corolário. Uma função harmônica não pode ter pontos de máximo ou mínimo (no sentido fraco) no interior do seu domínio de definição.
Vamos assumir que u(x,y) não constante. Esse caso é trivial.
Ponto de máximo (resp. mínimo) fraco, e local significa que u(x_0,y_0) \geq u(x,y) (resp. \leq u(x,y)) para todo (x,y) próximo de (x_0,y_0).
Considere um cículo pequeno ao redor de (x_0,y_0). Então por continuidade a função é sempre menor em torno de um arco pequeno perto (x_1,y_1) no círculo.
Portanto a média da função no círculo é menor que o valor da função no centro, uma contradição. Portanto a função é constante numa vizinhança de (x_0,y_0). Portanto o conjunto dos pontos \{(x,y): u(x_0,y_0) = u(x,y)\} é aberto e fechado.
Portanto como D é conexo esse conjunto têm de coincidir com o domínio D da função u, contradizendo nossa hipótese inicial. Portanto, se a função não é constante, e é harmônica a função não admite um máximo ou mínimo (fraco) global no interior do domínio. Quando a função têm uma extensão contínua para a fronteira, então como consequência o valores máximo e mínimos são realizados na fronteira.
Corolário. (Outro corolário do teorema do valor médio.) Seja D um domínio limitado, com fronteira suave por partes. Seja g uma função contínua na fronteira. Se existe u, harmônica em D que se extende à g na fronteira, então u é única.
Em outras palavras, a solução do problema de Dirichlet, se ela existe ela á única.