A transformada de Fourier: parte 2 (algumas considerações técnicas)

Nessa aula (24/08/2011) nosso objetivo foi demonstrar a fórmula de invesão de Fourier,

$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}dk \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt f(x) \exp(-ik(t-x))\right).$

Antes de nos aventurarmos na demonstração e tecnicalidades da prova, vamos motivar primeiro a noção de integral Fourier como um limite formal de uma série de Fourier de uma função de período $L$, com $L\to \infty$.

Considere primeiro a função $f_L(x)$ que coincide com a função original $f(x)$ no intervalo $[-L/2,L/2]$ e é zero fora dela.
A série de Fourier da extensão $L$-periódica dessa função é $f_L(x) =\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(\frac{2\pi i k x}{L}),$ onde cada $c_k = \frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(t)\exp(\frac{-2\pi i k t}{L}) dt.$

Portanto,

$f_L(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}( \frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(t)\exp(\frac{-2\pi i k t}{L}) dt)\exp(\frac{2\pi i k x}{L}),$
$= \frac{1}{L}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(\frac{2\pi i k (t - x)}{L})dt.$

Considere agora a função $F(\lambda) = \int_{-L/2}^{L/2 } f(t) \exp(-i\lambda (t-x))dt$ (assumindo que $x$ é uma constante, ou que $x$ foi fixado antes. Essa função auxiliar nos permite ver a expressão
 $\frac{1}{L}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(\frac{2\pi i k (t - x)}{L})dt = \frac{1}{2\pi}\sum_{-\infty}^{\infty}F(\lambda_k) \Delta \lambda,$
onde $\lambda_k = \frac{2\pi k}{L}$ e $\Delta \lambda = \frac{2\pi}{L}$. Isto é, a somatória infinita é uma soma de Riemann da função $F(\lambda)$. A razão para escolhermos $\Delta \lambda = \frac{2\pi}{L}$ é porque quando $k$ varia por uma unidade a freqüência $ \lambda$ varia por $\Delta \lambda = 2\pi/L$.

O limite formal $L\to \infty$ nos dá a fórmula de inversão de Fourier.

O teorema que nós vamos provar é o seguinte,
Teorema. Seja $f(x) \in L^1(\mathbb{R})$ e suponha que $f(x)$ seja $C^2(\mathbb{R})$. Então
$f(x) = \int_{-\infty }^{\infty}dk \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) \exp(-ik(t-x))\right).$

Algumas observações antes de procedermos com a demonstração do teorema. A condição $f(x)\in C^2(\mathbb{R})$ é bem restritiva. Na verdade a maioria dos livros de análise é suficiente assumirmos que $f(x)$ é Dini contínuo ou Lipshitz contínuo. Se a função for Lipshitz contínua, ela é Dini contínua. A noção de continuidade no sentido de Dini é um refinamento da noção de continuidade.

Lendo a Mathematical Encyclopedia da Springer, Dini continuidade significa que
$\lim_{\delta\to 0+}\omega(f;\delta) \log(1/\delta) = 0,$
$\omega(f;\delta) = \sup_{\vert x-y\vert \leq \delta} \vert f(x) - f(y)\vert$. Essa última quantidade é chamada o modulo de variação da função para uma variação em $\delta$ no argumento.

O crescimento de $\log(1/\delta)$ é muito lento, e portanto a condição de Dini é uma restrição na variação de $f$. (A variação de $f$ é "sublogrítmica.") Para nós, Lipshitz é suficiente, já que Lipshitz implica Dini.

Mais tarde, durante a demonstração nós veremos onde a condição de Dini é necessária.

Prova do teorema.

Definina $F_L(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-L}^{L}dk \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt f(x) \exp(-ik(t-x))\right).$
Nós vamos mostrar que $F_L(x)$ tende à $f(x)$ uniformemente.

Aplicando o teorema de Fubini em
$F_L(x) = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt \int_{-L}^{L}dk  f(t) \exp(-ik(t-x))\right).$

Isso é possível porquê $f(t) \exp(-ik(t-x))$ é absolutamente integrável na fita $[-A,A]\times [-\infty,\infty]$. (Por quê?)

Na nova ordem de integração,
$F_L(x) = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt  f(t) \int_{-L}^{L}dk \exp(-ik(t-x))\right)$
$=\frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt  f(t) \int_{-L}^{L}dk \exp(-ik(t-x))\right)$
$=\frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\infty}^{\infty} dt  f(t) \frac{2\sin(L(t-x))}{(t-x)}\right)$
$=\frac{1}{\pi} \left( \int_{-\infty}^{\infty} dz  f(x+z) \frac{\sin(Lz)}{z}\right),$
onde a última igualdade foi obtida através de uma mudança de coordenadas linear $z = t-x$.

Agora, nós sabemos que, através de integrais de linha é possível provar que
$\int_{-\infty}^{\infty}dz \sin(z)/z = \pi$.

Dado $\epsilon > 0$ arbitrário nós vamos escolher $R \gg 1$ e $L \gg 1$ tal que o valor absoluto de cada um dos termos no lado direito em

$F_L(x) - f(x) =  \frac{1}{\pi}\int_{\vert z\vert \leq R}dz \frac{f(x+z) - f(x)}{z}\sin(Lz) + \frac{1}{\pi}\int_{\vert z\vert > R} dz f(x+z) \frac{\sin(Lz)}{z} - f(x) \frac{1}{\pi}\int_{\vert z\vert > R} dz \frac{\sin(Lz)}{z}$

é menos que $\epsilon/3$. Estimando cada um dos termos no lado direito,

1. $\vert \frac{1}{\pi}\int_{\vert z\vert \leq R}dz \frac{f(x+z) - f(x)}{z}\sin(Lz)\vert  < \epsilon/3$ se $L \gg 1$ pois $\frac{f(x+z) - f(x)}{z}$ é contínua e limitada, e pelo lema de Riemann-Lebesgue se a freqüência $L$ for muito grande, a integral oscilatória tende à zero; 
2. $f(x)$ sendo absolutamente integrável implica que $\vert \frac{f(x+z)\sin(Lz)}{z}\vert \leq \vert \frac{f(x+z)}{z} \vert \leq \vert f(x+z)\vert$ é integrável no domínio $\vert z\vert \geq R$ e é tão pequena quanto quisermos, por exemplo $\epsilon/3$ se $R$ for suficientemente grande;
3. a última integral também pode ser feita pequena se $R$ for grande.

Portanto a diferença $F_L(x) - f(x)$ tende à zero.

A transformada de Fourier têm várias propriedades importantes, entre elas,

1. se $(f_n)$ é uma sequência de Cauchy na norma $L_1(\mathbb{R})$ a sequência $\widehat{f}_n$ é Cauchy na norma de convergência uniforme. 
2. Se $f\in L_1(\mathbb{R})$ então $\widehat{f}$ é contínua e limitada. (Não necessáriamente absolutamente integrável.) 
3. Se $f$ é absolutamente contínua (a derivada existe em quase todo ponto, e o teorema fundamental do Cálculo aplica) e $f'$ é absolutamente integrável então $\widehat{f'} = ik \widehat{f}$.  Em particular, argumentando por indução, nós podemos provar que $\vert \widehat{f}\vert \leq C/\vert k\vert^r$ onde $r$ é a ordem de diferenciabilidade de $f$. (Assumindo que as derivadas apropriadas são integráveis.)  
4. Se $f(x),xf(x)\in L_1(\mathbb{R})$ então $\frac{d}{dk}\widehat{f} = \widehat{-ixf(x)}$.
5. Se $\exp(\delta \vert x\vert) f(x) \in L_1(\mathbb{R})$ então $\widehat{f}$ é analítica. 

O único comentário que eu vou fazer é sobre a demonstração do item (2). Prove que o teorema é verdadeiro para funções características de intervalos abertos na reta real, e por linearidade, para qualquer função escada de suporte compacto. Em seguida você teria que demonstrar que as funções escadas de suporte limitado são densas no espaço de funções (abs.) integráveis na reta toda. A continuidade da transformada de Fourier (i.e. (1)) conclui a demonstração.