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sexta-feira, 9 de setembro de 2011

A desigualdade de Bessel

Seja f uma função contínua (ou mesmo contínua por partes) e seja S_N(x) = \sum_{k=-N}^N c_k \exp(ikx) o polinômio de Fourier de grau de N.

É fácil mostrar que,
(f - S_N,f - S_N) = \int_{-\pi}^{\pi}(f(x) - \sum_{k=-N}^N c_k \exp(ikx))(\bar{f}(x) -  \sum_{k=-N}^N \bar{c}_k \exp(-ikx))dx =
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\bar{f}(x)dx - \sum_{k=-N}^N \vert c_k\vert^2 \geq 0.
Portanto,
 \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\bar{f}(x)dx \geq \sum_{k=-N}^N \vert c_k\vert^2 e tomando o limite quando N\to \infty nós temos a desigualdade de Bessel.

Isso implica em particular que c_k \to 0 quando k\to \infty ou \lim_{k\to \infty}f(x) \exp(ikx) dx = 0, que é uma forma particular do lema de Riemann-Lebesgue.

Isso é bastante útil em demonstrações envolvendo integrais oscilatórias.


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