A desigualdade de Bessel

Seja $f$ uma função contínua (ou mesmo contínua por partes) e seja $S_N(x) = \sum_{k=-N}^N c_k \exp(ikx)$ o polinômio de Fourier de grau de $N$.

É fácil mostrar que,
$(f - S_N,f - S_N) = \int_{-\pi}^{\pi}(f(x) - \sum_{k=-N}^N c_k \exp(ikx))(\bar{f}(x) -  \sum_{k=-N}^N \bar{c}_k \exp(-ikx))dx =$
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\bar{f}(x)dx - \sum_{k=-N}^N \vert c_k\vert^2 \geq 0.$
Portanto,
$ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\bar{f}(x)dx \geq \sum_{k=-N}^N \vert c_k\vert^2$ e tomando o limite quando $N\to \infty$ nós temos a desigualdade de Bessel.

Isso implica em particular que $c_k \to 0$ quando $k\to \infty$ ou $\lim_{k\to \infty}f(x) \exp(ikx) dx = 0$, que é uma forma particular do lema de Riemann-Lebesgue.

Isso é bastante útil em demonstrações envolvendo integrais oscilatórias.