A transformada de Fourier no espaço $\mathcal{L}_1$

Consultando o livro da Valéria Iório, eu percebi que para fins pedagógicos é razoável introduzir a transformada de Fourier para funções integráveis em qualquer intervalo $[a,b]$ e que satisfazem
$\lim_{R\to \infty} \int_{[-R,R]}\vert f(x)\vert dx < \infty$. A Valéria chama esse espaço de $\mathcal{L}_1$.

Nesse espaço fica fácil ver que as funçoes escada, isto é, combinações lineares finitas de funções características é denso. Isso é consêquencia imediata da definição de integral de Riemann.

Outro comentário parentético, o Daniel Sampaio bem-observou ontem que na prova que $\widehat{f'}(k) = ik \widehat{f}(k)$ nós não precisamos assumir que ambas $f,f'$ são absolutamente integráveis, mas somente que $f'$ é, e que $f$ é absolutamente contínua.