Consultando o livro da Valéria Iório, eu percebi que para fins pedagógicos é razoável introduzir a transformada de Fourier para funções integráveis em qualquer intervalo $[a,b]$ e que satisfazem
$\lim_{R\to \infty} \int_{[-R,R]}\vert f(x)\vert dx < \infty$. A Valéria chama esse espaço de $\mathcal{L}_1$.
Nesse espaço fica fácil ver que as funçoes escada, isto é, combinações lineares finitas de funções características é denso. Isso é consêquencia imediata da definição de integral de Riemann.
Outro comentário parentético, o Daniel Sampaio bem-observou ontem que na prova que $\widehat{f'}(k) = ik \widehat{f}(k)$ nós não precisamos assumir que ambas $f,f'$ são absolutamente integráveis, mas somente que $f'$ é, e que $f$ é absolutamente contínua.
terça-feira, 30 de agosto de 2011
segunda-feira, 29 de agosto de 2011
Lista de exercícios 2: continuação
3. Repita a demonstração em aula do teorema de convolução para demonstrar que a transformada (inversa) de $\widehat{f}(k)\widehat{g}(k)$ é $f\star g$, onde $\star$ é o produto de convolução.
4. Esboçe o gráfico de $g = f\star f$, onde $f$ é o pulso quadrado,
$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1, & \vert x\vert \leq 1/2 \\
0,& \vert x\vert > 1/2.
\end{array}.
\right. $
Calcule $h = f\star f\star f$. Esboçe o gráfico aqui também.
5. Seja $\delta_N$ a sequência do tipo delta $\delta_N(x) = \left\{ \begin{array}{ll} N, & \vert x\vert \leq \frac{1}{2N} \\
0, & \vert x\vert > \frac{1}{2N}
\end{array}.
\right.$
4. Esboçe o gráfico de $g = f\star f$, onde $f$ é o pulso quadrado,
$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1, & \vert x\vert \leq 1/2 \\
0,& \vert x\vert > 1/2.
\end{array}.
\right. $
Calcule $h = f\star f\star f$. Esboçe o gráfico aqui também.
5. Seja $\delta_N$ a sequência do tipo delta $\delta_N(x) = \left\{ \begin{array}{ll} N, & \vert x\vert \leq \frac{1}{2N} \\
0, & \vert x\vert > \frac{1}{2N}
\end{array}.
\right.$
Mostre que $\lim_{N\to \infty} \widehat{\delta_N}(k) = 1.$ Isso mostra que a transformada de Fourier da função $\delta(x)$ (o delta de Dirac) é, como um limite fraco, identicamente 1.
6. Seja $f(x) = \exp(-a x^2), a > 0$.
O integrando da integral $\widehat{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-ax^2 - ikx) dx$ é analítico e não contém nenhuma singularidade na parte finita do plano.
O valor dessa integral para cada $k$ não muda se ao invés de integrarmos na reta real nós integrarmos ao longo da reta $z(t) = \sigma + i t, \sigma \in \mathbb{R}$. (Teorema de Cauchy para integração complexa.)
Portanto,
rescreva a integral de Fourier como uma integral ao longo da reta $z(t) = \sigma + it$. Sabendo que $\int_{\mathbb{R}} \exp(-a x^2) dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ calcule a transformada de $f(x)$.
7. (A equação do calor) Considere a equação do calor,
$$u_t(x,t) - u_{xx}(x,t) = 0,$$ $t\geq 0$ e $x\in (-\infty,\infty)$. O problema de Cauchy para essa equação pede que dados $u_0(t)$ nós calculemos $u(x,t)$ para $t\geq 0$. Aplique a transformada de Fourier (com respeito à $x$) e obtenha uma equação diferencial ordinária para $\widehat{u}(k)$. Assuma que $u(x,t)$ é boa o sufficiente de tal forma que as operações $\frac{\partial}{\partial t}(\dots)$ e $\int_{\infty}^{\infty}(\dots)$ comutem.
Utilize o exercício anterior para calcular a transformação inversa (com respeito à $k$) de $\widehat{u}(k,t)$.
Lembre-se que $u(x,0) = u_0(x)$ e portanto $\widehat{u}(k,0) = \widehat{u_0}(k)$.
Como fica a solução anterior se $u_0(x) = \delta(x)$ ou $\delta(x-a)$?
8. Prova elementar do teorema de convergência de Fourier. O autor é o professor P. Chernoff.
(a) Seja $f(x)$ uma função $C^1$ de período $2\pi$ e suponha que $f(0) = 0$. Nos próximos items nos vamos demonstrar que a série de Fourier da função converge em $x = 0$ para $f(0)=0$. Em seguida nós demonstraremos que ela converge para qualquer ponto no domínio fundamental $[0,2\pi]$.
(b) Seja $g(x) = f(x)/(\exp(ix) - 1)$. Mostre que $ lim_{x\to 0} g(x)$ existe e defina $g(0)$ como sendo esse limite. Isso amarra a função em $x = 0$, garantindo continuidade. Como ambos o numerador e o denominador são $2\pi$ periódicos, nós teremos então uma função contínua e periódica na reta toda.
A função sendo contínua no intervalo $[0,2\pi]$ os coefficientes de Fourier são bem-definidos.
(c) Seja $c_k$ e $d_k$ os coeficientes de Fourier de $f(x)$ e $g(x)$ respectivamente. Mostre que
$d_k \to 0$ quando $k\to \infty$.
Minha dica, use o lema de Riemann-Lebesgue.
(d) Mostre que $c_k = d_k - d_{k-1}$ e portanto a série $\sum c_k$ é telescópica.
(e) Conclua a demonstração, isto é, mostre que $\sum c_k = 0$.
Isto é, mostre que $\sum_{k=-N}^N c_k \to 0$ quando $N \to \infty.$
(f) Seja $h(x) = f(x + x_0) - f(x_0)$. Então $h$ é $C^1$, periódica e satisfaz $h(0) = 0$.
Conclua que se $\sum c_k \exp(ik x)$ é a série de Fourier de $f$ então, $\sum c_k \exp(ik x_0) = f(x_0$.
Obs.: esse exercício só demonstra convergência puntual.
Anteriormente nós tinhamos demonstrado convergência uniforme no caso em que $f$ era $C^2$.
8. Prova elementar do teorema de convergência de Fourier. O autor é o professor P. Chernoff.
(a) Seja $f(x)$ uma função $C^1$ de período $2\pi$ e suponha que $f(0) = 0$. Nos próximos items nos vamos demonstrar que a série de Fourier da função converge em $x = 0$ para $f(0)=0$. Em seguida nós demonstraremos que ela converge para qualquer ponto no domínio fundamental $[0,2\pi]$.
(b) Seja $g(x) = f(x)/(\exp(ix) - 1)$. Mostre que $ lim_{x\to 0} g(x)$ existe e defina $g(0)$ como sendo esse limite. Isso amarra a função em $x = 0$, garantindo continuidade. Como ambos o numerador e o denominador são $2\pi$ periódicos, nós teremos então uma função contínua e periódica na reta toda.
A função sendo contínua no intervalo $[0,2\pi]$ os coefficientes de Fourier são bem-definidos.
(c) Seja $c_k$ e $d_k$ os coeficientes de Fourier de $f(x)$ e $g(x)$ respectivamente. Mostre que
$d_k \to 0$ quando $k\to \infty$.
Minha dica, use o lema de Riemann-Lebesgue.
(d) Mostre que $c_k = d_k - d_{k-1}$ e portanto a série $\sum c_k$ é telescópica.
(e) Conclua a demonstração, isto é, mostre que $\sum c_k = 0$.
Isto é, mostre que $\sum_{k=-N}^N c_k \to 0$ quando $N \to \infty.$
(f) Seja $h(x) = f(x + x_0) - f(x_0)$. Então $h$ é $C^1$, periódica e satisfaz $h(0) = 0$.
Conclua que se $\sum c_k \exp(ik x)$ é a série de Fourier de $f$ então, $\sum c_k \exp(ik x_0) = f(x_0$.
Obs.: esse exercício só demonstra convergência puntual.
Anteriormente nós tinhamos demonstrado convergência uniforme no caso em que $f$ era $C^2$.
domingo, 28 de agosto de 2011
A transformada de Fourier I: motivações e exemplos
A transformada de Fourier é um limite formal da série de Fourier de uma função $L$-periódica no caso em que $L\to \infty$.
Quando uma função têm período $2\pi$ as únicas freqüências em $f(x)$ são números inteiros. Mas quando $f(x)$ não é periódica todas as freqüências são a priori permitidas.
Intuitivamente, como nós vamos ver em breve, a transformada de Fourier "mede" a presença de $\exp(ikx)$ na função $f(x)$.
Existem duas etapas na teoria de integrais de Fourier. A primeira é chamada análise spectral e consiste de calcular a distribuição de freqüências presentes no "sinal" f(x), o segundo passo consiste em reconstruir o sinal $f(x)$ a partir da sua distribuição de freqüencias $\widehat{f}(k)$. Em suma,
Nossa hipótese fundamental daqui em diante é que $f(x)$ é absolutamente integrável na reta real,
$\int_{\mathbb{R}}\vert f(x)\vert dx < \infty.$ A medida que formos precisando de mais hipóteses, vamos restringir a classe de "sinais" f(x) que trabalharemos.
"Teorema." O grau de suavidade de $f(x)$ controla o quão rápido $\widehat{f}(k)$ tende à zero.
Antes de procedermos com a teoria, vamos experimentar com alguns exemplos.
As transformadas fundamentais, eu diria.
Ex. 1: $f(x) = \delta(x) \Rightarrow \widehat{f}(k) = 1.$
Ex. 2: $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \vert x\vert < L \\ 0, & \vert x\vert > L \end{array} \right.$
Você pode calcular que $\widehat{f}(k) \propto \sin(k L)/L,$ e a constante de proporcionalidade fica por sua conta.
Ex. 3: $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} exp(-ax), & x \geq 0 \\ 0, & x < 0. \end{array} \right.$ Assumindo $a > 0$ é claro.
Verifique que $\widehat{f}(k) \propto \frac{1}{a + ik}.$
O pólo em $k = i a$ está relacionado com a descontinuidade da função em $x=0$. Por quê? Que tipo de descontinuidades geram pólos?
E.g. 4: $f(x) = \exp(-a \vert x\vert), a > 0.$ A transformada não têm pólos dessa vez! Verifique que $\widehat{f}(k) \propto 1/(a^2 + k^2).$
Ex. 5: E a transformada de uma função constante?
Formalmente falando, a resposta é a função $\delta(k)$. Mas a explanação exige que nos mergulhemos na teoria de funções generalizadas.
Consulte, o livro do Lighthill "Fourier Integrals and Generalized Functions."
Antes de falarmos da teoria de transformadas de Fourier rigorosamente, vamos nos aventurar um pouco mais nos aspectos computacionais.
Mais tarde nós veremos que transformadas de Fourier são bastante úteis no cáculo de funções de Green de operadores lineares.
A próxima pergunta é a seguinte.
Qual é a relação entre $\widehat{f}(k)$ e $\widehat{f'}(k)$? (Se é que elas estão relacionadas.)
Podemos nos perguntar sobre noções semelhantes, como a relação entre a transformada de Fourier e integrais, e a transformada de Fourier e o operador de translação. (Mais sobre esse tópico mais tarde.)
Dada $f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(ikx)$, a derivada $f'$ têm série de Fourier $ \sum_{k=-\infty}^{\infty} ikc_k \exp(ikx)$.
No mundo de integrais de Fourier, essa regra se torna
$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(k)\exp(-ikx)dk \Rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(k)\exp(-ikx)dk$ e da pela fórmula de inversão de Fourier, $\widehat{f'}(k) = ik\widehat{f}(k)$.
Por outro lado, a transformada da integral $F(x) = \int f(x) dx $ é $\widehat{F}(k) = \widehat{f}(k)/ik.$
Outra propriedade computacional interessante da transformada de Fourier, útil em processamento de sinais, é
$f(x-d) = \int_{\mathbb{R}}\exp(-ikd)\widehat{f}(k)\exp(ikx)dx.$
As regras computacionais para a integral de Fourier podem ser resumidas na seguinte lista:
e calcule a transformada da curva normal $f(x) = \exp(-x^2/2)$. (Dica: a transformada é uma curva normal também.)
Quando uma função têm período $2\pi$ as únicas freqüências em $f(x)$ são números inteiros. Mas quando $f(x)$ não é periódica todas as freqüências são a priori permitidas.
Intuitivamente, como nós vamos ver em breve, a transformada de Fourier "mede" a presença de $\exp(ikx)$ na função $f(x)$.
Existem duas etapas na teoria de integrais de Fourier. A primeira é chamada análise spectral e consiste de calcular a distribuição de freqüências presentes no "sinal" f(x), o segundo passo consiste em reconstruir o sinal $f(x)$ a partir da sua distribuição de freqüencias $\widehat{f}(k)$. Em suma,
- $\widehat{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\exp(-ikx) dx,$
- $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(k) \exp(ikx) dk.$
Nossa hipótese fundamental daqui em diante é que $f(x)$ é absolutamente integrável na reta real,
$\int_{\mathbb{R}}\vert f(x)\vert dx < \infty.$ A medida que formos precisando de mais hipóteses, vamos restringir a classe de "sinais" f(x) que trabalharemos.
"Teorema." O grau de suavidade de $f(x)$ controla o quão rápido $\widehat{f}(k)$ tende à zero.
Antes de procedermos com a teoria, vamos experimentar com alguns exemplos.
As transformadas fundamentais, eu diria.
Ex. 1: $f(x) = \delta(x) \Rightarrow \widehat{f}(k) = 1.$
Ex. 2: $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \vert x\vert < L \\ 0, & \vert x\vert > L \end{array} \right.$
Você pode calcular que $\widehat{f}(k) \propto \sin(k L)/L,$ e a constante de proporcionalidade fica por sua conta.
Ex. 3: $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} exp(-ax), & x \geq 0 \\ 0, & x < 0. \end{array} \right.$ Assumindo $a > 0$ é claro.
Verifique que $\widehat{f}(k) \propto \frac{1}{a + ik}.$
O pólo em $k = i a$ está relacionado com a descontinuidade da função em $x=0$. Por quê? Que tipo de descontinuidades geram pólos?
E.g. 4: $f(x) = \exp(-a \vert x\vert), a > 0.$ A transformada não têm pólos dessa vez! Verifique que $\widehat{f}(k) \propto 1/(a^2 + k^2).$
Formalmente falando, a resposta é a função $\delta(k)$. Mas a explanação exige que nos mergulhemos na teoria de funções generalizadas.
Consulte, o livro do Lighthill "Fourier Integrals and Generalized Functions."
Antes de falarmos da teoria de transformadas de Fourier rigorosamente, vamos nos aventurar um pouco mais nos aspectos computacionais.
Mais tarde nós veremos que transformadas de Fourier são bastante úteis no cáculo de funções de Green de operadores lineares.
A próxima pergunta é a seguinte.
Qual é a relação entre $\widehat{f}(k)$ e $\widehat{f'}(k)$? (Se é que elas estão relacionadas.)
Podemos nos perguntar sobre noções semelhantes, como a relação entre a transformada de Fourier e integrais, e a transformada de Fourier e o operador de translação. (Mais sobre esse tópico mais tarde.)
Dada $f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(ikx)$, a derivada $f'$ têm série de Fourier $ \sum_{k=-\infty}^{\infty} ikc_k \exp(ikx)$.
No mundo de integrais de Fourier, essa regra se torna
$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(k)\exp(-ikx)dk \Rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(k)\exp(-ikx)dk$ e da pela fórmula de inversão de Fourier, $\widehat{f'}(k) = ik\widehat{f}(k)$.
Por outro lado, a transformada da integral $F(x) = \int f(x) dx $ é $\widehat{F}(k) = \widehat{f}(k)/ik.$
Outra propriedade computacional interessante da transformada de Fourier, útil em processamento de sinais, é
$f(x-d) = \int_{\mathbb{R}}\exp(-ikd)\widehat{f}(k)\exp(ikx)dx.$
As regras computacionais para a integral de Fourier podem ser resumidas na seguinte lista:
- $f'(x)$ têm transformada $ik \mathbb{f}(k)$ e portanto a transformada da derivada decai mais devagar quando $k\to \infty$. ("As freqências mais altas aumentaram.")
- $\int f(x) dx$ têm transformada $\widehat{\int f(x) dx}(k) = \widehat{f}(k)/ik$, e a transformada decai mais rápido. ("A distribuição de freqüências fica mais concentrada.)
- $f(x - d)$ têm transformada $\exp(-ikd) \widehat{f}(k)$, i.e. "transladando o sinal $f(x)$ muda a fase de $\widehat{f}(k)$."
sexta-feira, 26 de agosto de 2011
Solução do testinho 1 (função de Dirac periódica)
No testinho 1 eu pedi que vocês calculassem a expansão de Fourier de
$f(x) =
\left\{\begin{array}{ll}
-1, & x\in(-\pi,0) \\
1, & x\in (0,\pi)
\end{array}
\right.$
e extendida periódicamente, i.e. nós recortamos e colamos o gráfico da função em cada intervalo $[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]$ etc.
Em seguida eu pedi que a derivada (no sentido generalizado) de $f(x)$ fosse calculada também. O problema perguntava se a série de Fourier da função original poderia ser calculada a partir da série de Fourier da derivada por integração termo-a-termo.
A série de Fourier de $f(x)$ é $\sum_{\text{k impar}}\frac{4}{\pi k} \sin(kx).$
(A função é ímpar e real.)
O tamanho da descontinuidade da função $f$ no ponto $x = 0$ é 2. O que eu quero dizer é que o pulo têm tamanho + 2 unidades.
No ponto $x = \pi$ o módulo do pulo é o mesmo, mas o sinal muda. E pensando periodicamente você generaliza como o padrão.
As vezes a função $f(x)$ é chamada de função sinal, pois ela retorna o sinal de um número real.
Como a maioria percebeu, $f(x) = 2\theta(x) - 1 \Rightarrow f'(x) = 2\delta(x)$ onde $\theta(x)$ é a função de Heaviside ou a anti-derivada generalizada de $\delta(x)$.
Se não estivéssemos no caso periódico poderíamos parar aqui. Mas a função $f(x)$ é periódica,
e a derivada correta é
$f(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}}c_k \exp(ikx) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} 2 (-1)^k \delta(x - k\pi).$
Ou, nós podemos pensar que $\delta(x)$ é o limite de uma sequência de funções do tipo delta, que são $2\pi$ periódicas e que no intervalo fundamental $[-\pi,\pi]$ têm a forma,
$\delta_N(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
-N, & x \in (-\pi,-\pi + 1/2N) \\
N, & x \in (-1/2N,1/2N) \\
-N, & x \in (\pi - 1/2N,\pi)
\end{array}
\right. $
Se você esboçar esseas funções o desenho se parece com uma coleção de caixinhas de altura $N$ (ou -$N$) ao redor de cada $k \pi, k \in \mathbb{Z}$.
Os coeficientes de Fourier de $f'(x)$, que chamaremos aqui $d_k$ são calculados como
$d_k = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta_N(x) \exp(-ixk) dx.$
Escrevendo $f'(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} d_k \exp(ikx)$ e integrando termo-a-termo na série infinita nos recuperaremos $\sum c_k exp(ikx)$.
$f(x) =
\left\{\begin{array}{ll}
-1, & x\in(-\pi,0) \\
1, & x\in (0,\pi)
\end{array}
\right.$
e extendida periódicamente, i.e. nós recortamos e colamos o gráfico da função em cada intervalo $[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]$ etc.
Em seguida eu pedi que a derivada (no sentido generalizado) de $f(x)$ fosse calculada também. O problema perguntava se a série de Fourier da função original poderia ser calculada a partir da série de Fourier da derivada por integração termo-a-termo.
A série de Fourier de $f(x)$ é $\sum_{\text{k impar}}\frac{4}{\pi k} \sin(kx).$
(A função é ímpar e real.)
O tamanho da descontinuidade da função $f$ no ponto $x = 0$ é 2. O que eu quero dizer é que o pulo têm tamanho + 2 unidades.
No ponto $x = \pi$ o módulo do pulo é o mesmo, mas o sinal muda. E pensando periodicamente você generaliza como o padrão.
As vezes a função $f(x)$ é chamada de função sinal, pois ela retorna o sinal de um número real.
Como a maioria percebeu, $f(x) = 2\theta(x) - 1 \Rightarrow f'(x) = 2\delta(x)$ onde $\theta(x)$ é a função de Heaviside ou a anti-derivada generalizada de $\delta(x)$.
Se não estivéssemos no caso periódico poderíamos parar aqui. Mas a função $f(x)$ é periódica,
e a derivada correta é
$f(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}}c_k \exp(ikx) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} 2 (-1)^k \delta(x - k\pi).$
Ou, nós podemos pensar que $\delta(x)$ é o limite de uma sequência de funções do tipo delta, que são $2\pi$ periódicas e que no intervalo fundamental $[-\pi,\pi]$ têm a forma,
$\delta_N(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
-N, & x \in (-\pi,-\pi + 1/2N) \\
N, & x \in (-1/2N,1/2N) \\
-N, & x \in (\pi - 1/2N,\pi)
\end{array}
\right. $
Se você esboçar esseas funções o desenho se parece com uma coleção de caixinhas de altura $N$ (ou -$N$) ao redor de cada $k \pi, k \in \mathbb{Z}$.
Os coeficientes de Fourier de $f'(x)$, que chamaremos aqui $d_k$ são calculados como
$d_k = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta_N(x) \exp(-ixk) dx.$
Escrevendo $f'(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} d_k \exp(ikx)$ e integrando termo-a-termo na série infinita nos recuperaremos $\sum c_k exp(ikx)$.
Derivação da equação da corda
Seguindo o Mark Embree,
eu vou postar uma diagrama aqui que exemplifica a situação típica da perturbação de uma corda fina carregada com miçangas.
Em geral essa seria a situação típica resultante da perturbação da corda por uma força externa vertical aplicada à corda que estava inicialmente em repouso.
A massas $m_i$ (denotadas pelos pontões gordos) podem se deslocar horizontalmente, e verticalmente.
Além do mais, os ângulos $\phi_i$'s podem ser determinados através de formulas trigonométricas (exercício).
Por exemplo,
Supondo que a deformação entre os segmentos de corda entre quaisquer duas massas seja pequena, a interação entre quaisquer duas massas se dá através da lei de Hook. Nós comentaremos mais à respeito da deformação da corda sob efeito de uma perturbação externa mais tarde.
Se a perturbação for suficientemente pequena, os livros em geral assumem que a tensão na corda é aproximadamente constante.
Em física, supõe-se em geral que um fio de material elástico se comporta como uma mola linear, i.e. a resistência à obedece a lei de Hook.
Suponha também que uma certa tensão $\tau$ foi aplicada à corda.
Dessa forma, a força sofrida pela massa $m_j$ no modelo é (approximadamente)
$$\tau (\cos(\phi_j) - \cos(\phi_{j-1}), \sin(\phi_j) - \sin(\phi_{j-1})).$$
Os ângulos $\phi_j$ ficam determinados pelos deslocamentos através de fórmulas trigonométricas simples involvendo os deslocamentos horizontais e verticais,
$\cos(\phi_j) = \frac{l_j + x_{j+1} - x_j}{\sqrt{(l_j + x_{j+1} - x_j)^2 + (y_{j+1} - y_j)^2}}.$
Se nós assumirmos que $l_j \gg \vert x_{j+1} - x_j\vert , l_j \gg \vert y_{j+1} - y_j\vert $ então nós temos que,
$\cos(\phi_j) \approx 1$ e $\sin(\phi_j) \approx \frac{y_{j+1} - y_j}{l_j}.$
Intuitivamente, se $l_j = h,\forall j$ então $\vert x_{j+1} - x_j\vert = O(h^2)$ etc.
Como exercício derive as outras fórmulas e aproximações necessárias para o cálculo da força de Hooke atuando em cada massa, ou miçanga.
No final, se nós fizermos os cálculos corretamente, em primeira ordem nós podemos assumir que a componente da força restauradora é maioritariamente vertical.
Portanto nós podemos utilizar o seguinte diagrama de dislocamento vertical da corda. Daqui em diante, para evitar confusão eu vou denotar os pontos no eixo horizontal onde as massas $m_i$ estavam inicialmente em repouso por $x_j$ e o deslocamento vertical dessas massas por $u(x_j) = u_j$. devido A força de tensão vertical é denotada por $F$. (Com os seus dedos você toca o violão de uma corda. )
Obs.: No diagrama a corda sofre uma dilatação. O comprimento da corda dilatada é fácil de calcular,
$l' = \sqrt{h^2 + u_1}^2 + \sqrt{h^2 + (u_1 - u_2)^2} + \dots \sqrt{h^2 + (u_N - u_{N-1})^2} + + \sqrt{h^2 + u_N^2}.$
Uma expansão em séries de Taylor para $\sqrt{1 + \epsilon}$ nos dá nesse caso,
$l' = h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_1 - u_2)^2}{h^2} + \dots + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_{N} - u_{N-1})^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)).$
Agora os termos $\Delta u_j = u_j - u_{j-1}$ são todos da ordem $O(h^2)$ de acordo com a nossa hipótese.
O tamanho inicial da corda é $l \approx h N$ e $h = O(1/N)$. Portanto,
$l' = l + h\sum_j \frac{\Delta u_j^2}{h^2} + O(h^3)$. O segundo termo no lado direito é uma soma de $N$ termos de ordem $h^2$ e portanto nós podemos estimar a soma no lado direito como
$l'= l + O(h^2)$.
A variação em comprimento $\Delta l$ e da ordem de $h$.
Considere agora as equações de movimento de cada $m_i$.
Nossa hipótese simplificadora é que $m_i = m$ e que a distância entre elas é fixa.
No limite quando $h,m \to 0$ nós vamos considerar o caso $m/h \to \text{const.}$, i.e. a distribuição linear de massa tende tende à uma constante.
As equações de movimento são:
$\left\{
\begin{array}{ll}
m \ddot{u}_1 = & -F\frac{u_1}{h} + F\frac{u_2 - u_1}{h}, \\
m \ddot{u}_2 = & -F\frac{u_2 - u_1}{h} + F\frac{u_3 - u_2}{h},\\
\vdots & \vdots \\
m \ddot{u}_N = & -F\frac{u_N - u_{N-1}}{h} + F\frac{u_N }{h}.
\end{array}
\right. $
Dividindo ambos os lados por $h$ (e a razão vai ficar clara logo),
nós obteremos o sistema linear de segunda ordem da forma,
$\frac{m}{h} \mathbf{u} =\mathbf{ -K u},$
onde $\mathbf{u} = (u_1,u_2,\dots,u_N)$ e
$K = \frac{-F}{h^2}
\left(
\begin{array}{cccccc}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \dots & \dots\\
0 & -1 & 2 & -1 & 0 & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & \dots & -1& -2 & -1 & 0 \\
0 & \dots & 0 & -1& -2 & -1 \\
0 & 0 & \dots & \dots & -1 & 2 \\
\end{array}\right).$
A matriz tridiagonal $\mathbf{K}$ é extremamente importante em análise númerica, e está relacionada com um método de discretização chamado diferenças finitas. A matriz $K$ é quadrada e têm dimensão $N$. Quando $h\to 0$ e o número de miçangas tende ao infinito, nós vamos ter no limite um sistema linear de "dimensão infinita."
Para concluir a nossa estória, considere uma malha no intervalo $[0, l]$. Nós estamos amostrando uma certa função $u(x,t)$ em certos pontos $x_k = 0 + kh$, igualmente espaçados.
Ponto-a-ponto, nos nós da malha, nós temos que
$\ddot{u}(x_j,t) = -F\frac{u(x_{j+1},t) - 2 u(x_j,t) + u(x_{j-1},t)}{h^2},$
e um simples argumento involvendo séries de Taylor vai convence-lo de que a razão no lado direito é de fato uma aproximação para
$u_{xx}(x_j,t)$ com erro de ordem $O(h)$.
Portanto,
$\frac{m}{h}u_{tt}(x_j,t) = F u_{xx}(x_j,t) + O(h). $
No limite $h,m\to 0$, $m/h \to \rho > 0$ e nós recuperamos a equação da corda. A velocidade ao quadrado $c^2$ que aparece na equação da corda é a razão entre $F/\rho$.
eu vou postar uma diagrama aqui que exemplifica a situação típica da perturbação de uma corda fina carregada com miçangas.
 |
| Diagrama 1. |
A massas $m_i$ (denotadas pelos pontões gordos) podem se deslocar horizontalmente, e verticalmente.
Além do mais, os ângulos $\phi_i$'s podem ser determinados através de formulas trigonométricas (exercício).
Por exemplo,
Supondo que a deformação entre os segmentos de corda entre quaisquer duas massas seja pequena, a interação entre quaisquer duas massas se dá através da lei de Hook. Nós comentaremos mais à respeito da deformação da corda sob efeito de uma perturbação externa mais tarde.
Se a perturbação for suficientemente pequena, os livros em geral assumem que a tensão na corda é aproximadamente constante.
Em física, supõe-se em geral que um fio de material elástico se comporta como uma mola linear, i.e. a resistência à obedece a lei de Hook.
Suponha também que uma certa tensão $\tau$ foi aplicada à corda.
Dessa forma, a força sofrida pela massa $m_j$ no modelo é (approximadamente)
$$\tau (\cos(\phi_j) - \cos(\phi_{j-1}), \sin(\phi_j) - \sin(\phi_{j-1})).$$
Os ângulos $\phi_j$ ficam determinados pelos deslocamentos através de fórmulas trigonométricas simples involvendo os deslocamentos horizontais e verticais,
$\cos(\phi_j) = \frac{l_j + x_{j+1} - x_j}{\sqrt{(l_j + x_{j+1} - x_j)^2 + (y_{j+1} - y_j)^2}}.$
Se nós assumirmos que $l_j \gg \vert x_{j+1} - x_j\vert , l_j \gg \vert y_{j+1} - y_j\vert $ então nós temos que,
$\cos(\phi_j) \approx 1$ e $\sin(\phi_j) \approx \frac{y_{j+1} - y_j}{l_j}.$
Intuitivamente, se $l_j = h,\forall j$ então $\vert x_{j+1} - x_j\vert = O(h^2)$ etc.
Como exercício derive as outras fórmulas e aproximações necessárias para o cálculo da força de Hooke atuando em cada massa, ou miçanga.
No final, se nós fizermos os cálculos corretamente, em primeira ordem nós podemos assumir que a componente da força restauradora é maioritariamente vertical.
Portanto nós podemos utilizar o seguinte diagrama de dislocamento vertical da corda. Daqui em diante, para evitar confusão eu vou denotar os pontos no eixo horizontal onde as massas $m_i$ estavam inicialmente em repouso por $x_j$ e o deslocamento vertical dessas massas por $u(x_j) = u_j$. devido A força de tensão vertical é denotada por $F$. (Com os seus dedos você toca o violão de uma corda. )
Obs.: No diagrama a corda sofre uma dilatação. O comprimento da corda dilatada é fácil de calcular,
 |
| Diagrama 2. |
Uma expansão em séries de Taylor para $\sqrt{1 + \epsilon}$ nos dá nesse caso,
$l' = h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_1 - u_2)^2}{h^2} + \dots + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_{N} - u_{N-1})^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)).$
Agora os termos $\Delta u_j = u_j - u_{j-1}$ são todos da ordem $O(h^2)$ de acordo com a nossa hipótese.
O tamanho inicial da corda é $l \approx h N$ e $h = O(1/N)$. Portanto,
$l' = l + h\sum_j \frac{\Delta u_j^2}{h^2} + O(h^3)$. O segundo termo no lado direito é uma soma de $N$ termos de ordem $h^2$ e portanto nós podemos estimar a soma no lado direito como
$l'= l + O(h^2)$.
A variação em comprimento $\Delta l$ e da ordem de $h$.
Considere agora as equações de movimento de cada $m_i$.
Nossa hipótese simplificadora é que $m_i = m$ e que a distância entre elas é fixa.
No limite quando $h,m \to 0$ nós vamos considerar o caso $m/h \to \text{const.}$, i.e. a distribuição linear de massa tende tende à uma constante.
As equações de movimento são:
$\left\{
\begin{array}{ll}
m \ddot{u}_1 = & -F\frac{u_1}{h} + F\frac{u_2 - u_1}{h}, \\
m \ddot{u}_2 = & -F\frac{u_2 - u_1}{h} + F\frac{u_3 - u_2}{h},\\
\vdots & \vdots \\
m \ddot{u}_N = & -F\frac{u_N - u_{N-1}}{h} + F\frac{u_N }{h}.
\end{array}
\right. $
Dividindo ambos os lados por $h$ (e a razão vai ficar clara logo),
nós obteremos o sistema linear de segunda ordem da forma,
$\frac{m}{h} \mathbf{u} =\mathbf{ -K u},$
onde $\mathbf{u} = (u_1,u_2,\dots,u_N)$ e
$K = \frac{-F}{h^2}
\left(
\begin{array}{cccccc}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \dots & \dots\\
0 & -1 & 2 & -1 & 0 & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & \dots & -1& -2 & -1 & 0 \\
0 & \dots & 0 & -1& -2 & -1 \\
0 & 0 & \dots & \dots & -1 & 2 \\
\end{array}\right).$
A matriz tridiagonal $\mathbf{K}$ é extremamente importante em análise númerica, e está relacionada com um método de discretização chamado diferenças finitas. A matriz $K$ é quadrada e têm dimensão $N$. Quando $h\to 0$ e o número de miçangas tende ao infinito, nós vamos ter no limite um sistema linear de "dimensão infinita."
Para concluir a nossa estória, considere uma malha no intervalo $[0, l]$. Nós estamos amostrando uma certa função $u(x,t)$ em certos pontos $x_k = 0 + kh$, igualmente espaçados.
Ponto-a-ponto, nos nós da malha, nós temos que
$\ddot{u}(x_j,t) = -F\frac{u(x_{j+1},t) - 2 u(x_j,t) + u(x_{j-1},t)}{h^2},$
e um simples argumento involvendo séries de Taylor vai convence-lo de que a razão no lado direito é de fato uma aproximação para
$u_{xx}(x_j,t)$ com erro de ordem $O(h)$.
Portanto,
$\frac{m}{h}u_{tt}(x_j,t) = F u_{xx}(x_j,t) + O(h). $
No limite $h,m\to 0$, $m/h \to \rho > 0$ e nós recuperamos a equação da corda. A velocidade ao quadrado $c^2$ que aparece na equação da corda é a razão entre $F/\rho$.
segunda-feira, 22 de agosto de 2011
O modelo de miçangas na vida real.
A fotos abaixo são cortesia de Mark Embree da Rice University de Houson, no estado do Texas.
 |
| Para ler mais sobre o modelo e os experimentos realizados por Mark e o seus estudantes, explore http://www.caam.rice.edu/~beads/. |
quinta-feira, 18 de agosto de 2011
Funções de Green (ou função causal da influência de um distúrbio no instante $a$ no ponto $x$.)
Princípio de linearidade ou superposição.
Seja $A$ um operador linear e sejam $\phi_1,\phi_2$ soluções da equação $Au = g_1$ e $Au = g_2$ respectivamente.
Então $(\phi_1 + \phi_2)$ é solução da equação $Au = \phi_1 + \phi_2$.
Aqui $A$ pode ser uma equação diferencial ordinária, ou uma equação diferencial parcial, e o espaço de funções onde o operador atua satisfaz condições de fronteira apropriadas.
A solução $u$ de uma equação linear do tipo $Au = g$ representa a resposta do sistema ao distúrbio (externo) $g$.
Superposição nos permite considerar os efeitos de perturbações individualmente.
Portanto nós vamos considerar primeiro perturbações que são puntuais. Integração (na forma de convolução) vai nos permitir considerar perturbações mais gerais.
Definição. Uma seqüência de funções $(\delta_N)$ do tipo $\delta$ é uma seqüência de funções positivas com suporte compacto concentrado na origem $x = 0$, e que satisfaz as seguintes propriedades
$\int_{\mathbb{R}} \delta_N dx = 1,$ e
$\overline{ \text{suporte}(\delta_N) } = \overline{ \{ x\in\mathbb{R}: \delta_N(x) \neq 0 \} } \to \{0\}$ quando $N\to \infty$.
O exemplo que nós vamos considerar aqui é a sequência de funções
$\delta_N(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
N, & \vert x\vert \leq 1/2N \\
0, & \vert x\vert > 1/2N.
\end{array}
\right.$
Portanto $\delta_N(x)$ não precisa nem ser contínua. Antes de provarmos uma propriedade fundamental das seqüências do tipo delta, nós demonstraremos o seguinte fato auxiliar.
Lema. Se $g(x)$ é contínua em $I = [a,b]$ e $h(x)$ é integrável e positiva em $I = [a,b]$ então
$\exists c \in [a,b]$ t.q. $g(c) = \frac{1}{A}\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx,$
onde $A = \int_I h(x) dx.$
E se $A = 0$? Nós vamos assumir primeiro que $A \neq 0$.
Prova. Sejam $m,M$ o máximo e mínimo (resp.) de $g(x)$ no intervalo $I$, i.e. $m \leq g(x) \leq M, \forall x\in I$. Como consequência, $ m \int_{a}^{b}h(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)h(x) dx \leq
M \int_{a}^{b} h(x)dx$, ou ainda que $m \leq \frac{1}{A}\int_{a}^{b}g(x)h(x) dx \leq M$ assumindo que $A\neq 0$.
A continuidade de $g(x)$ implica que as quotas $m,M$ pertencem a imagem de $g(x)$. Além disso, pelo teorema do valor intermediário, qualquer valor entre $m,M$ é alcançado pela função $g(x)$.
(O intervalo $[m,M]$ está contido na imagem de $g(x)$.)
Isso conclui a demonstração do lema. Q.E.D.
Prove que se $A = 0$, sob a hipótese que $h(x)$ é positiva e integrável, então $h(x)$ é zero.
Integrabilidade aqui é no sentido de Riemann. Acho que o problema é válido para funções integráveis no sentido de Lebesgue.
Será que nós podemos provar o lema se $\phi(x)$ puder tomar valores negativos, mas a integral de $\phi(x)$ é positiva? Prove ou ache um contra-exemplo. (Exercício.)
De volta ao mundo dos mortais, nós podemos provar o seguinte
Proposição. Se $g(x)$ for contínua então e $(\delta_N(x)$ é uma função do tipo delta,
$$\lim_{N\to \infty} \int_{\mathbb{R}}g(x) \delta_N(x) dx = g(0).$$
Em análise funcional nós diríamos que a seqüência $(\delta_N(x))$ converge fracamente.
Pense que o mapa $g(x) \mapsto \int_{\mathbb{R}}(\underline{\bullet})\delta_N(x) dx$ define um funcional no espaço de funções contínuas. O limite desse funcional é o que os físicos chamam de função delta (de Dirac), ou $\delta(x)$.
Formalmente $\delta[g(x)] = g(0)$.
A prova da proposição é uma aplicação direta da nossa versão acima do teorema do valor médio para integrais.
Uma conseqüência básica dessas idéias é a idéia de função de Green causal.
Definição. A função de Green (causal) $G(x;a)$ é a solução do problema de Cauchy
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d y}{dx} - f(x)y = \delta(x - a) , \\
y(x_0) = 0 , a > x_0.
\end{array}
\right.$
Em geral nós iniciamos o cronômetro em $x = 0$.
Como interpretar essa última equação propriamente? Mais precisamente, como interpretar $G(x;a)$ rigorosamente?
Seja $y_N(x;a)$ a solução do problema de Cauchy
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dy}{dx} - f(x)y = \delta_N(x-a),\\
y(0) = 0
\end{array}
\right.$
onde $(\delta_N(x-a))$ é uma seqüência de funções do tipo delta concentrada perto no ponto $a$.
Definição. $G(x;a) = \lim_{N \to \infty} y_N(x)$.
Nós vamos ver que esse limite não depende da escolha da seqüência do tipo delta.
Para mostrar que a função $G(x;a)$ é bem definida nós vamos retroceder um pouco e relembrar algumas formulas do curso de Cálculo 4.
A solução de uma equação linear não homogênea é da forma $y_N(x) = c(x) y_0(x)$ onde $y_0$ é a solução da equação homogênea associada.
A função $c(x)$ é obtida substituindo o "chute" $c(x)y_0(x)$ na equação não homogênea.
A solução geral fica,
$y_N(x) = \int_0^x \exp(\int_s^x f(t) dt) \delta_N(s) ds.$
Proposição. A função de Green $G(x;a)$ é dada pela fórmula
$G(x;a) =
\left\{\begin{array}{ll}
0, & x < a \\
\exp(\int_a^x f(t) dt) & x \geq a.
\end{array}
\right.$
A prova depende da propriedade fundamental das seqüências do tipo delta. Da fórmula fórmula nós inferimos que $G(x;a)$ é descontínua em $x=a$. A resposta do sistema é unitária no instante da perturbação $\delta(x-a)$.
Como exercício eu pedi que vocês calculasses a função de Green do seguinte problema de Cauchy para a EDO de segunda ordem (equações de Newton) do pêndulo simples:
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{-k}{m}x + \delta(x-a) \\
x(0) = \dot{x}(0) = 0.
\end{array}
\right.$
Isso descreve a equação de um pêndulo inicialmente em repouso e que sofre uma pancada instantânea no instante $t = a$.
Em resumo, o formalismo de funções é bastante conveniente quando calcularmos soluções numéricas e ou analíticas de EDP's lineares.
Seja $A$ um operador linear e sejam $\phi_1,\phi_2$ soluções da equação $Au = g_1$ e $Au = g_2$ respectivamente.
Então $(\phi_1 + \phi_2)$ é solução da equação $Au = \phi_1 + \phi_2$.
Aqui $A$ pode ser uma equação diferencial ordinária, ou uma equação diferencial parcial, e o espaço de funções onde o operador atua satisfaz condições de fronteira apropriadas.
A solução $u$ de uma equação linear do tipo $Au = g$ representa a resposta do sistema ao distúrbio (externo) $g$.
Superposição nos permite considerar os efeitos de perturbações individualmente.
Portanto nós vamos considerar primeiro perturbações que são puntuais. Integração (na forma de convolução) vai nos permitir considerar perturbações mais gerais.
Definição. Uma seqüência de funções $(\delta_N)$ do tipo $\delta$ é uma seqüência de funções positivas com suporte compacto concentrado na origem $x = 0$, e que satisfaz as seguintes propriedades
$\int_{\mathbb{R}} \delta_N dx = 1,$ e
$\overline{ \text{suporte}(\delta_N) } = \overline{ \{ x\in\mathbb{R}: \delta_N(x) \neq 0 \} } \to \{0\}$ quando $N\to \infty$.
O exemplo que nós vamos considerar aqui é a sequência de funções
$\delta_N(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
N, & \vert x\vert \leq 1/2N \\
0, & \vert x\vert > 1/2N.
\end{array}
\right.$
Portanto $\delta_N(x)$ não precisa nem ser contínua. Antes de provarmos uma propriedade fundamental das seqüências do tipo delta, nós demonstraremos o seguinte fato auxiliar.
Lema. Se $g(x)$ é contínua em $I = [a,b]$ e $h(x)$ é integrável e positiva em $I = [a,b]$ então
$\exists c \in [a,b]$ t.q. $g(c) = \frac{1}{A}\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx,$
onde $A = \int_I h(x) dx.$
E se $A = 0$? Nós vamos assumir primeiro que $A \neq 0$.
Prova. Sejam $m,M$ o máximo e mínimo (resp.) de $g(x)$ no intervalo $I$, i.e. $m \leq g(x) \leq M, \forall x\in I$. Como consequência, $ m \int_{a}^{b}h(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)h(x) dx \leq
M \int_{a}^{b} h(x)dx$, ou ainda que $m \leq \frac{1}{A}\int_{a}^{b}g(x)h(x) dx \leq M$ assumindo que $A\neq 0$.
A continuidade de $g(x)$ implica que as quotas $m,M$ pertencem a imagem de $g(x)$. Além disso, pelo teorema do valor intermediário, qualquer valor entre $m,M$ é alcançado pela função $g(x)$.
(O intervalo $[m,M]$ está contido na imagem de $g(x)$.)
Isso conclui a demonstração do lema. Q.E.D.
Prove que se $A = 0$, sob a hipótese que $h(x)$ é positiva e integrável, então $h(x)$ é zero.
Integrabilidade aqui é no sentido de Riemann. Acho que o problema é válido para funções integráveis no sentido de Lebesgue.
Será que nós podemos provar o lema se $\phi(x)$ puder tomar valores negativos, mas a integral de $\phi(x)$ é positiva? Prove ou ache um contra-exemplo. (Exercício.)
De volta ao mundo dos mortais, nós podemos provar o seguinte
Proposição. Se $g(x)$ for contínua então e $(\delta_N(x)$ é uma função do tipo delta,
$$\lim_{N\to \infty} \int_{\mathbb{R}}g(x) \delta_N(x) dx = g(0).$$
Em análise funcional nós diríamos que a seqüência $(\delta_N(x))$ converge fracamente.
Pense que o mapa $g(x) \mapsto \int_{\mathbb{R}}(\underline{\bullet})\delta_N(x) dx$ define um funcional no espaço de funções contínuas. O limite desse funcional é o que os físicos chamam de função delta (de Dirac), ou $\delta(x)$.
Formalmente $\delta[g(x)] = g(0)$.
A prova da proposição é uma aplicação direta da nossa versão acima do teorema do valor médio para integrais.
Uma conseqüência básica dessas idéias é a idéia de função de Green causal.
Definição. A função de Green (causal) $G(x;a)$ é a solução do problema de Cauchy
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d y}{dx} - f(x)y = \delta(x - a) , \\
y(x_0) = 0 , a > x_0.
\end{array}
\right.$
Em geral nós iniciamos o cronômetro em $x = 0$.
Como interpretar essa última equação propriamente? Mais precisamente, como interpretar $G(x;a)$ rigorosamente?
Seja $y_N(x;a)$ a solução do problema de Cauchy
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dy}{dx} - f(x)y = \delta_N(x-a),\\
y(0) = 0
\end{array}
\right.$
Definição. $G(x;a) = \lim_{N \to \infty} y_N(x)$.
Nós vamos ver que esse limite não depende da escolha da seqüência do tipo delta.
Para mostrar que a função $G(x;a)$ é bem definida nós vamos retroceder um pouco e relembrar algumas formulas do curso de Cálculo 4.
A solução de uma equação linear não homogênea é da forma $y_N(x) = c(x) y_0(x)$ onde $y_0$ é a solução da equação homogênea associada.
A função $c(x)$ é obtida substituindo o "chute" $c(x)y_0(x)$ na equação não homogênea.
A solução geral fica,
$y_N(x) = \int_0^x \exp(\int_s^x f(t) dt) \delta_N(s) ds.$
Proposição. A função de Green $G(x;a)$ é dada pela fórmula
$G(x;a) =
\left\{\begin{array}{ll}
0, & x < a \\
\exp(\int_a^x f(t) dt) & x \geq a.
\end{array}
\right.$
A prova depende da propriedade fundamental das seqüências do tipo delta. Da fórmula fórmula nós inferimos que $G(x;a)$ é descontínua em $x=a$. A resposta do sistema é unitária no instante da perturbação $\delta(x-a)$.
Como exercício eu pedi que vocês calculasses a função de Green do seguinte problema de Cauchy para a EDO de segunda ordem (equações de Newton) do pêndulo simples:
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{-k}{m}x + \delta(x-a) \\
x(0) = \dot{x}(0) = 0.
\end{array}
\right.$
Isso descreve a equação de um pêndulo inicialmente em repouso e que sofre uma pancada instantânea no instante $t = a$.
Em resumo, o formalismo de funções é bastante conveniente quando calcularmos soluções numéricas e ou analíticas de EDP's lineares.
quarta-feira, 17 de agosto de 2011
seminário q.t.p. para alunos de graduação
Mensagem do diretor do DMAT segue:
seminario q.t.p., para não terminar em pizza!
seminario q.t.p., para não terminar em pizza!
Inbox X
Inbox
show details 8:48 PM (1 minute ago) |
prezados colegas principais,
thomas e eu estamos organizando o seminário de divulgação
"seminario q.t.p."
dedicado especialmente aos nossos alunos, os mais maduros e os menos maduros,
(e seus professores também serão muito bem-vindos). será (ou
pretendemos que seja)
um seminário informal e descontraído -até divertido- onde um pesquisador
explicará os problemas da sua área e tentará passar algumas ideias.
este seminário será também uma ótima oportunidade para os professores
do dmat divulgar sua pesquisa para os alunos (achamos que muitos
não sabem muito bem o que fazemos.....). assim propostas de palestras, temas,
palestrantes são bem-vindos. se vs. querem "palestrar" melhor ainda!
contamos com sua ajuda, colaboração.... e suas palestras.
o seminário terminará em pizza, o que explica o nome do seminário,
(completem o significado das siglas) financiada pelo dmat, com uma
pequena confraternização.
a primeira palestra será na proxima quarta, as 17h30min. será
ministrada pela nossa ex-aluna Bianca Santoro. O tema é de primeira:
Fluxos de Ricci para iniciantes. por favor, não esqueçam de divulgar!
Um abraço
Thomas e Lorenzo
thomas e eu estamos organizando o seminário de divulgação
"seminario q.t.p."
dedicado especialmente aos nossos alunos, os mais maduros e os menos maduros,
(e seus professores também serão muito bem-vindos). será (ou
pretendemos que seja)
um seminário informal e descontraído -até divertido- onde um pesquisador
explicará os problemas da sua área e tentará passar algumas ideias.
este seminário será também uma ótima oportunidade para os professores
do dmat divulgar sua pesquisa para os alunos (achamos que muitos
não sabem muito bem o que fazemos.....). assim propostas de palestras, temas,
palestrantes são bem-vindos. se vs. querem "palestrar" melhor ainda!
contamos com sua ajuda, colaboração.... e suas palestras.
o seminário terminará em pizza, o que explica o nome do seminário,
(completem o significado das siglas) financiada pelo dmat, com uma
pequena confraternização.
a primeira palestra será na proxima quarta, as 17h30min. será
ministrada pela nossa ex-aluna Bianca Santoro. O tema é de primeira:
Fluxos de Ricci para iniciantes. por favor, não esqueçam de divulgar!
Um abraço
Thomas e Lorenzo
domingo, 14 de agosto de 2011
O fenômeno de Gibbs
A série de Fourier de uma função descontínua $\phi(x)$ periódica não pode convergir uniformemente para a função, mas ela pode convergir ponto-à-ponto.
Nos pontos de descontinuidade a seqüência dos gráficos das somas parciais $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx))$ converge para uma curva que é uma superposição do gráfico da função descontínua original e segmentos e segmentos verticais que excedem o tamanho do salto $\delta$ da função na descontinuidade por aproximadamente $0.08 \times \delta$ acima e abaixo do gráfico original.
Ilustremos o fenômeno. Considere a função onda quadrada com saltos de $\pi/2$ nos pontos de descontinuidade. Isto é, quando $x = 0, \pm \pi, \dots $ etc. a função salta de $-\pi/4$ para $\pi/4$.
Se a função fosse contínua a seqüência $S_N(\pi/N)$ convergiria para $\phi(0) = 0.$
(Em geral, nos pontos de descontinuidade $p$ de $\phi(x)$, a série de Fourier converge para a média
$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(p + \epsilon^2) + \phi(p - \epsilon^2)}{2}.$ )
É fácil calcular a $S_N(x)$ para a onda quadrada,
$$2\times S_N(x) = \sin(x) + \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{5}\sin(5x) + \dots + \frac{1}{N-1} \sin ((N-1)x),$$
onde o último termo só é não zero se $N$ for par.
Nós temos
$2\times S_N(\pi/N) = \sin(\pi/N) + \frac{1}{3}\sin(3\pi/N) + \frac{1}{5}\sin(5\pi/N) + \dots + \frac{1}{N} \sin ((N-1) \pi/N), $
$ =\times( 0 + \frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{\pi}{N})}{\frac{\pi}{N}} + \frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{3\pi}{N})}{\frac{3\pi}{N}} +
\frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{5\pi}{N})}{\frac{5\pi}{N}} + \dots +
\frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{(N-1)\pi}{N})}{\frac{\pi}{N}}).$
Tomando o limite $N \to \infty$ a soma parcial na última linha se torna,
$\to \int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx = 1.85194 \Rightarrow S_N(\pi/N) \approx 0.5 \times 1.85194 \approx \pi/4 + 0.08 \times \pi/2 . $
(Nós tínhamos uma soma de Riemann no intervalo de $[0,\pi]$, onde na aproximação por retângulos nós dividimos o intervalo em $k$ ou $k-1$ subintervalos, dependendo se $N=2k$ ou $2k-1$ e a altura de cada sub-retângulo era o valor da função no meio dos subintervalos.)
A função $\text{sinc}(x) = \sin(x)/x$ é bem conhecida na literatura, e é continua no intervalo $[0,\pi]$.
Nos pontos de descontinuidade a seqüência dos gráficos das somas parciais $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx))$ converge para uma curva que é uma superposição do gráfico da função descontínua original e segmentos e segmentos verticais que excedem o tamanho do salto $\delta$ da função na descontinuidade por aproximadamente $0.08 \times \delta$ acima e abaixo do gráfico original.
Ilustremos o fenômeno. Considere a função onda quadrada com saltos de $\pi/2$ nos pontos de descontinuidade. Isto é, quando $x = 0, \pm \pi, \dots $ etc. a função salta de $-\pi/4$ para $\pi/4$.
Se a função fosse contínua a seqüência $S_N(\pi/N)$ convergiria para $\phi(0) = 0.$
(Em geral, nos pontos de descontinuidade $p$ de $\phi(x)$, a série de Fourier converge para a média
$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(p + \epsilon^2) + \phi(p - \epsilon^2)}{2}.$ )
É fácil calcular a $S_N(x)$ para a onda quadrada,
$$2\times S_N(x) = \sin(x) + \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{5}\sin(5x) + \dots + \frac{1}{N-1} \sin ((N-1)x),$$
onde o último termo só é não zero se $N$ for par.
Nós temos
$2\times S_N(\pi/N) = \sin(\pi/N) + \frac{1}{3}\sin(3\pi/N) + \frac{1}{5}\sin(5\pi/N) + \dots + \frac{1}{N} \sin ((N-1) \pi/N), $
$ =\times( 0 + \frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{\pi}{N})}{\frac{\pi}{N}} + \frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{3\pi}{N})}{\frac{3\pi}{N}} +
\frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{5\pi}{N})}{\frac{5\pi}{N}} + \dots +
\frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{(N-1)\pi}{N})}{\frac{\pi}{N}}).$
Tomando o limite $N \to \infty$ a soma parcial na última linha se torna,
$\to \int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx = 1.85194 \Rightarrow S_N(\pi/N) \approx 0.5 \times 1.85194 \approx \pi/4 + 0.08 \times \pi/2 . $
(Nós tínhamos uma soma de Riemann no intervalo de $[0,\pi]$, onde na aproximação por retângulos nós dividimos o intervalo em $k$ ou $k-1$ subintervalos, dependendo se $N=2k$ ou $2k-1$ e a altura de cada sub-retângulo era o valor da função no meio dos subintervalos.)
A função $\text{sinc}(x) = \sin(x)/x$ é bem conhecida na literatura, e é continua no intervalo $[0,\pi]$.
Lista de exercícios 2
Em análise nós provamos o seguinte.
Suponha que $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ é contínua para cada $n$ e que $(f_n)$ converge uniformemente para cada $f$ em $[a,b]$. Então $\int_a^b f_n(x) dx \to \int_a^b f(x) dx$.
- Suponha que a série trigonométrica $a_0/2 + \sum^\infty_{n=1}(a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx))$ é uniformemente convergente no intervalo $[-\pi,\pi]$. Seja $f(x)$ essa função limite. Prove que essa série coincide com a série de Fourier de $f(x)$.
- Mostre que para uma função contínua $2\pi$ periódica $f$, se $(f,\exp(ikx))=0$ ou equivalentemente $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx) dx = 0$ para todo $k$ então $f$ é necessariamente a função constante igual à zero.
- Prove que se a série de Fourier de uma função $f(x)$ for uniformemente convergente, então essa série funções converge para $f(x)$.
Dicas para o segundo problema.
A função $g(y) = f(\arccos y)$ define uma função contínua para $y\in [-1,1]$. Portanto pelo teorema de aproximação de Weiertrass existe um polinômio $p(y)$ tal que $\max_{\vert y\vert \leq 1}\vert f(\arccos(y)) - p(y)\vert < \epsilon.$ Mas $T(x) = p(\cos(x))$ é um polinômio trigonométrico, e portanto
$\max_{x\in [0,\pi]}\vert f(x) - p(\cos(x))\vert < \epsilon.$
Portanto toda função contínua, e periódica pode ser aproximada uniformemente por um polinômio trigonométrico.
Portanto pelo teorema de Weierstrass existe uma seqüência de polinômios trigonométricos $(p_n)$ que converge uniformemente para $f(x)$.
Mas já que tomar as operações de tomar o limite e integração comutem no caso de convergência uniforme nós temos que,
$\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx = \lim_{n\to \infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) p_n(x) dx. $
Conclua a demonstração.
Dica para o terceiro problema. Combine os exercícios 1 e 3.
sexta-feira, 12 de agosto de 2011
Resumo da aula 3
Nós começamos por falar sobre como representar uma função periódica $\phi(x)$ de período $2\pi$ como uma série infinita (em geral), da forma
$\phi = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos(kx) + b_k\sin(kx)),$ ou como
$\phi = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(ikx). $
A igualdade aqui é formal, pois ainda não sabemos se a série de funções à direita converge ou não para a função na esquerda.
Dada uma função $\phi(x)$ o procedimento para obtermos uma série infinita foi através de ''projeções ortogonais''. Isso significa que
$\int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \exp(-ikx) dx = \dots + \int_{-\pi}^{\pi}c_{-2}\exp(-i2x) \exp(-ikx)dx + $
$ \int_{-\pi}^{\pi}c_{-1}\exp(-ix) \exp(-ikx)dx + \int_{-\pi}^{\pi}c_{0} \exp(ikx)dx +\int_{-\pi}^{\pi}c_{1} \exp(ix)\exp(-ikx)dx + \dots .$
Usando a relação $(\exp(ikx),\exp(ilx)) = \int_{-\pi}^{\pi} \exp(ikx)\exp(ilx) dx = 0$ se $k\neq l$,
então,
$$c_k =(\phi(x),\exp(ikx))/(\exp(ikx),\exp(ikx)). $$
Mas dada a série $ \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(ikx)$,
Se $\phi(x) \in C^2(S^1)$, i.e. $\phi(x)$ é $C^2$ e periódica de período $2\pi$, então os coeficientes em
$\sum c_k \exp(ikx)$ têm decaimento quadrático,
$$\vert c_k\vert < A/\vert k\vert^2,$$
onde a constante $A$ só depende de $\phi$.
Primeiramente, todos os $c_k$'s são limitados, $$\vert c_k\vert = \vert \int \phi(x)\exp(-ikx) dx\vert \leq
\int \vert \phi(x) \exp(ikx)\vert dx = \int \vert \phi(x)\vert dx = M.$$
Prova consiste de uma aplicação direta de integração por partes,
$c_k = \int_{\pi}^{\pi} \phi(x)\exp(ikx) dx = \frac{-1}{ik}\int_{\pi}^{\pi} \phi(x) d(\exp(-ikx)) $
$ = \frac{-1}{ik}\phi(x)\exp(-ikx) \vert_{x=-\pi}^{x=\pi} + \frac{-1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi'(x) d(\exp(-ikx))$
$ = \frac{-1}{k^2}\phi'(x)\exp(-ikx) \vert_{x=-\pi}^{x=\pi} + \frac{1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi''(x) \exp(-ikx) dx,$
e portanto
$\vert c_k\vert \leq \vert \frac{1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi''(x) \exp(-ikx) dx\vert \leq \frac{A}{kˆ2}.$
(Ache a constante $A$.)
Agora nós invocaremos Herr Weierstrass duas vezes,
a primeira para provarmos a convergência da série de Fourier de $\phi(x)$ e na segunda vez nós utilizaremos um teorema de Weierstrass em teoria de aproximação.
Teorema. ( Teste de Weierstrass. ) A série de funções $\sum f_k(x)$ converge uniformemente se
$\phi = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos(kx) + b_k\sin(kx)),$ ou como
$\phi = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(ikx). $
A igualdade aqui é formal, pois ainda não sabemos se a série de funções à direita converge ou não para a função na esquerda.
Dada uma função $\phi(x)$ o procedimento para obtermos uma série infinita foi através de ''projeções ortogonais''. Isso significa que
$\int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \exp(-ikx) dx = \dots + \int_{-\pi}^{\pi}c_{-2}\exp(-i2x) \exp(-ikx)dx + $
$ \int_{-\pi}^{\pi}c_{-1}\exp(-ix) \exp(-ikx)dx + \int_{-\pi}^{\pi}c_{0} \exp(ikx)dx +\int_{-\pi}^{\pi}c_{1} \exp(ix)\exp(-ikx)dx + \dots .$
Usando a relação $(\exp(ikx),\exp(ilx)) = \int_{-\pi}^{\pi} \exp(ikx)\exp(ilx) dx = 0$ se $k\neq l$,
então,
$$c_k =(\phi(x),\exp(ikx))/(\exp(ikx),\exp(ikx)). $$
Mas dada a série $ \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(ikx)$,
- será que a série converge? E se ela converge,
- será que ela converge para a função original?
A resposta para a primeira pergunta depende do comportamento da função original. Vamos começar com o caso onde $\phi(x)$ é $C^2$. Isso foi motivado pelos nossos estudos da equação da corda e pela fórmula de D'Alembert.
Primeiro nós devemos mostrar o seguinte,
Proposição.
Se $\phi(x) \in C^2(S^1)$, i.e. $\phi(x)$ é $C^2$ e periódica de período $2\pi$, então os coeficientes em
$\sum c_k \exp(ikx)$ têm decaimento quadrático,
$$\vert c_k\vert < A/\vert k\vert^2,$$
onde a constante $A$ só depende de $\phi$.
Primeiramente, todos os $c_k$'s são limitados, $$\vert c_k\vert = \vert \int \phi(x)\exp(-ikx) dx\vert \leq
\int \vert \phi(x) \exp(ikx)\vert dx = \int \vert \phi(x)\vert dx = M.$$
Prova consiste de uma aplicação direta de integração por partes,
$c_k = \int_{\pi}^{\pi} \phi(x)\exp(ikx) dx = \frac{-1}{ik}\int_{\pi}^{\pi} \phi(x) d(\exp(-ikx)) $
$ = \frac{-1}{ik}\phi(x)\exp(-ikx) \vert_{x=-\pi}^{x=\pi} + \frac{-1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi'(x) d(\exp(-ikx))$
$ = \frac{-1}{k^2}\phi'(x)\exp(-ikx) \vert_{x=-\pi}^{x=\pi} + \frac{1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi''(x) \exp(-ikx) dx,$
e portanto
$\vert c_k\vert \leq \vert \frac{1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi''(x) \exp(-ikx) dx\vert \leq \frac{A}{kˆ2}.$
(Ache a constante $A$.)
Agora nós invocaremos Herr Weierstrass duas vezes,
a primeira para provarmos a convergência da série de Fourier de $\phi(x)$ e na segunda vez nós utilizaremos um teorema de Weierstrass em teoria de aproximação.
Teorema. ( Teste de Weierstrass. ) A série de funções $\sum f_k(x)$ converge uniformemente se
- $\vert f_k \vert \leq M_k$,
- $\sum M_k < \infty$. (A série das quotas superiores converge.)
A prova pode ser encontrada em qualquer livro de análise clássica. (Cf. F. John e R. Courant, Intro. to Analysis and Calculus.)
Corolário. A série de Fourier de uma função $C^2$ converge uniformemente para alguma função.
Quem é essa função limite? Você adivinhou corretamente se o seu chute for $\phi(x)$. Mas a prova não é tão banal. Na postagem anterior eu inclui uma prova desse fato. Outro fato interessante é que se $\phi(x)$ é analítica, i.e. $\phi(x)$ é a restrição de alguma função holomórfica ao intervalo $[-\pi,\pi]$,
a convergência da série de Fourier é super-rápida já que os coeficientes decaem exponencialmente.
Por quê falávamos de séries de Fourier?
Nosso objetivo era resolver o problema de Cauchy,
$u_{tt} - a^2u_{xx} = 0, u\vert_{t=0} = \phi(x), u_t\vert_{t=0} = \psi(x),$$
e com condições de fronteira periódicas: $u(x+2\pi,t) = u(x,t)$.
Nós queremos provar que (supondo $a=1$)
$$u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)) \exp(ikx),$$
é solução geral do problema de fronteiras, e em seguida utilizamos as condições iniciais para determinarmos os coeficientes na série infinita acima.
Como exercício eu sugiro que você rescreva a o lado direito de $u(x,t)$ como
$\sum_{k=-\infty}^{\infty}(A_k e^{ik(t+x)} + B_k e^{ik(t-x)})$.
Cada um termos $e^{ik(t \pm x)}$ é chamado uma onda, movendo-se à direita ou à esquerda.
Verique que $e^{ik(t+x)}$ é solução da equação da onda.
Portanto a solução geral é uma superposição de ondas. Superposição é uma propriedade muito útil dos modelos lineares.
Antes de continuarmos com a teoria geral, vejamos alguns exemplos práticos e computacionais de séries de Fourier.
Nós vimos o exemplo da função,
onda quadrada =
$f(x) = x$ em $[-\pi,\pi]$ estendida periodicamente ao longo reta real.
$f(x) = x$ em $[-\pi,\pi]$ estendida periodicamente ao longo reta real.
Os coeficientes da série de Fourier dessa função foram calculados em classe.
Uma coisa intessante que está acontecendo na animação é a formação de um ruído nas extremidades do zig-zag.
Por quê?
Dica. A convergência não é uniforme.
quarta-feira, 10 de agosto de 2011
Correção do final da aula.
Abaixo $S^1$ é o intervalo $[-\pi,\pi]$ com os pontos finais identificados. (Um círculo!)
Dada $\phi$ de classe $C^2(S^1)$ (i.e. $C^2$ e periódica de periodo $2\pi$) nós sabemos que a série de Fourier de $\phi$ $\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(ikx)$ converge uniformemente para alguma função $f(x)$.
Por consequência essa função têm a mesma série de $\phi$. Isso pode ser provado por integração termo a termo.
Proposição. $f(x) = \phi(x)$.
Prova por contradição.
Caso não, $\delta(x) = \phi(x) - \delta(x)$ não é identicamente zero e portanto existe um ponto $x_0 \in [-\pi,\pi]$ onde a função é differente de zero. Na verdade existe uma vizinhança aberta desse ponto onde $\delta(x)$ não se anula.
Nós podemos demonstrar que $\delta(x)$ têm série de Fourier zero. Isso implica que $(\delta(x),\exp(ixk)) = 0, \forall k \in \mathbb{Z}.$ Essa última igualdade diz que os coefficientes da série de Fourier são todos zeros.
Seguindo a sugestão do Daniel, existem uma versão do teorema de aproximação de Weierstrass que diz que toda função contínua e $2\pi$-periódica pode ser aproximada por polinômios trigonométricos, para qualquer ordem de precisão que você especificar. Eu vou falar mais sobre essa extensão do teorema de Weierstrass depois que eu terminar a prova da proposição.
Considere a norma de $\delta(x),$
$\vert\vert \delta(x)\vert \vert = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta(x)^2 dx = m > 0.$
Por outro lado, pelo teorema de Weierstrass, existe um polinômio trigonométrico (real) da forma
$\sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)$, $c_k = \bar{c}_{-k},$ que aproxima $\delta(x)$ com precisão
$$\max_{x\in [-\pi,\pi]} \vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert < m/10^{20}.$$
Como comparar a norma do máximo e a norma Hermitina?
Nós temos a seguinte desigualdade,
$\vert\vert f\vert\vert^2 = (f(x),f(x)) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx \leq 2\pi \times \max_{S^1} \vert f(x)\vert^2 = 2\pi \times (\max_{S^1} \vert f(x)\vert)^2.$
Por outro lado, por Pitagora nós temos a igualdade,
$\vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2 = \vert\vert \delta(x)\vert\vert^2 +
\vert\vert \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x) \vert\vert^2.$
Mas
$ \vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2
\leq 2\pi \times (\max_{S^1} \vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert)^2
< 2 \pi m^2/10^{40}.$
Portanto,
$m^2 < \vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2 \leq 2 \pi m^2/10^{40}.$
Eis a contradição procurada.
Para encerrar a postagem essa noite eu comentarei sobre a versão trigonométrica do teorema de Weierstrass.
O teorema de Weiertrass em duas dimensões diz que no quadrado unitário, os polinômios em $x,y$ são densos no espaço $C^0([0,1]\times [0,1])$, o espaço de funções contínuas no quadrado unitário. Em particular, esses polinômios são densos em qualquer subespaço compacto do quadrado.
O círculo de raio 1 é um subconjunto compacto do quadradro unitário, e mapa $s\to (\cot(s),\sin(s))$ mostra que qualquer os polínomios trigonométricos são restrições de polínomios em $x$ e $y$.
Dada $\phi$ de classe $C^2(S^1)$ (i.e. $C^2$ e periódica de periodo $2\pi$) nós sabemos que a série de Fourier de $\phi$ $\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(ikx)$ converge uniformemente para alguma função $f(x)$.
Por consequência essa função têm a mesma série de $\phi$. Isso pode ser provado por integração termo a termo.
Proposição. $f(x) = \phi(x)$.
Prova por contradição.
Caso não, $\delta(x) = \phi(x) - \delta(x)$ não é identicamente zero e portanto existe um ponto $x_0 \in [-\pi,\pi]$ onde a função é differente de zero. Na verdade existe uma vizinhança aberta desse ponto onde $\delta(x)$ não se anula.
Nós podemos demonstrar que $\delta(x)$ têm série de Fourier zero. Isso implica que $(\delta(x),\exp(ixk)) = 0, \forall k \in \mathbb{Z}.$ Essa última igualdade diz que os coefficientes da série de Fourier são todos zeros.
Seguindo a sugestão do Daniel, existem uma versão do teorema de aproximação de Weierstrass que diz que toda função contínua e $2\pi$-periódica pode ser aproximada por polinômios trigonométricos, para qualquer ordem de precisão que você especificar. Eu vou falar mais sobre essa extensão do teorema de Weierstrass depois que eu terminar a prova da proposição.
Considere a norma de $\delta(x),$
$\vert\vert \delta(x)\vert \vert = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta(x)^2 dx = m > 0.$
Por outro lado, pelo teorema de Weierstrass, existe um polinômio trigonométrico (real) da forma
$\sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)$, $c_k = \bar{c}_{-k},$ que aproxima $\delta(x)$ com precisão
$$\max_{x\in [-\pi,\pi]} \vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert < m/10^{20}.$$
Como comparar a norma do máximo e a norma Hermitina?
Nós temos a seguinte desigualdade,
$\vert\vert f\vert\vert^2 = (f(x),f(x)) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx \leq 2\pi \times \max_{S^1} \vert f(x)\vert^2 = 2\pi \times (\max_{S^1} \vert f(x)\vert)^2.$
Por outro lado, por Pitagora nós temos a igualdade,
$\vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2 = \vert\vert \delta(x)\vert\vert^2 +
\vert\vert \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x) \vert\vert^2.$
Mas
$ \vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2
\leq 2\pi \times (\max_{S^1} \vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert)^2
< 2 \pi m^2/10^{40}.$
Portanto,
$m^2 < \vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2 \leq 2 \pi m^2/10^{40}.$
Eis a contradição procurada.
Para encerrar a postagem essa noite eu comentarei sobre a versão trigonométrica do teorema de Weierstrass.
O teorema de Weiertrass em duas dimensões diz que no quadrado unitário, os polinômios em $x,y$ são densos no espaço $C^0([0,1]\times [0,1])$, o espaço de funções contínuas no quadrado unitário. Em particular, esses polinômios são densos em qualquer subespaço compacto do quadrado.
O círculo de raio 1 é um subconjunto compacto do quadradro unitário, e mapa $s\to (\cot(s),\sin(s))$ mostra que qualquer os polínomios trigonométricos são restrições de polínomios em $x$ e $y$.
segunda-feira, 8 de agosto de 2011
Sumário da aula 2 (08/AUG/2011)
Hoje nós começamos por enunciar nossos futuros método de resolução de EDPs lineares durante esse semestre. Estes métodos analíticos incluem,
A ortogonalidade de $e_1,e_2$ têm um papel fundamental na solução do problema de Cauchy para a equação de segunda ordem acima.
Por exemplo, dados
$\left( \begin{array}{c}
x_1(0) \\
x_2(0) \end{array} \right)$ e
- métodos espectrais (e.g. Fourier, ou qualquer método de expansão em autofunções de um operador diferencial tal que o espectro é negativo e zero não é autovalor);
- funções de Green, ou soluções fundamentais das equações lineares. As palavras chaves aqui é função são a função delta $\delta(x)$ e convolução.
- elementos finitos, útil no cálculo numérico de soluções.
Hoje n\'os introduzimos o método espectral de Fourier para resolvermos a equação da corda com condições de fronteira periódicas, $$u(x+l,t) = u(x,t)$$. Por conveniência nós tomamos o tamanho da corda $l$ como sendo $2\pi$.
Nosso primeiro passo foi definir de maneira informal um espaço vetorial de funções.
No curso de álgebra linear nós definimos um espaço vetorial como uma extensão abstrata dos conhecidos $\mathbb{R}^N$. Esses espaços possuem uma origem, e adição e escalonamento de vetores é também possível. Além disso nos revemos as noções de produto interno e produto Hermitiano. Essas estruturas introduzem geometria nos espaços vetoriais (resp. de funções) pois permitem-nos falar de tamanho e ângulo.
O espaço $\mathbb{R}^N$ têm um produto interno bem conhecido definido por
$$x\bullet y = x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_Ny_N,$$ onde $x = (x_1,\dots,x_N)$ e $y = (y_1,\dots,y_N).$
Produtos Hermitianos aparecem em espaços vetoriais complexos, e os físicos estudando mecânica quântica são bem familiarizados com essas idéias.
Nós consideramos para começar o espaço (complexo) de polinômios trigonométricos
$$E_N = \{ \sum_{k=-N}^{N} c_k \exp(i k x), c_k\in \mathbb{C} \}. $$
Observação. A variável $x$ contínua sendo real. (Este é um espaço de funções definidas na reta real e tomando valores complexos.)
Exercício. Qual a dimensão complexa desse espaço?
Existe uma "versão" real desse espaço (não é realificação álgebrica do mesmo) que nos denotaremos por
$$S_N = \{ a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) : a_k , b_k \mathbb{R} \}.$$
O produto interno aqui é
$(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\bar{g}dx$. Note que $g$ é conjugada na expressão.
Voltemos a considerar a equação da onda,
$$ u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 . $$
Se nós considerarmos o nosso espaço de funções admissíveis como sendo o espaço $E_N$, então a equação da corda se torna um sistema equações lineares de dimensão finita, e de segunda ordem. Porquê?
Tomemos o seguinte exemplo.
Considere o seguinte exemplo em $\mathbb{R}^2$.
Considere o sistema linear
$$ \left( \begin{array}{c}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array} \right)
.$$
Os autovalores dessa equação são distintos, ambos negativos.
Calcule-os.
Em outras palavras, meu sistema $\ddot{x} = Lx$ com $L$ auto-adjunto com respeito ao produto Euclidiano.
Vamos denotar os auto-valores por $-\omega_1^2$ e $-\omega_2^2$. Como os auto-valores são distintos os autovetores correspondentes são ortogonais.
Além do mais como $L$ é auto-adjunto o sistema linear acima "desconcerta." (Ou separação em modos normais, como os físicos os chamariam.)
Seja $\{e_1,e_2\}$ os autovetores de $L$. Eles formam uma base de $\mathbb{R}^2$. O sistema acima pode ser re-escrito como
$$\frac{d^2}{dt^2}(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2) = L(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2),$$
ou
$$\ddot{x}_1 = -\omega_1^2 x_1(t), \ddot{x}_2 = -\omega_2^2 x_2(t). $$
Portanto, $x_1(t) = a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t)$ e
$x_2(t) = a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t).$
Portanto a solução geral do problema pode ser expressa como,
$
\left( \begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \end{array} \right) = (a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t))e_1 +
(a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t))e_2.$
$$ \left( \begin{array}{c}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array} \right)
.$$
Os autovalores dessa equação são distintos, ambos negativos.
Calcule-os.
Em outras palavras, meu sistema $\ddot{x} = Lx$ com $L$ auto-adjunto com respeito ao produto Euclidiano.
Vamos denotar os auto-valores por $-\omega_1^2$ e $-\omega_2^2$. Como os auto-valores são distintos os autovetores correspondentes são ortogonais.
Além do mais como $L$ é auto-adjunto o sistema linear acima "desconcerta." (Ou separação em modos normais, como os físicos os chamariam.)
Seja $\{e_1,e_2\}$ os autovetores de $L$. Eles formam uma base de $\mathbb{R}^2$. O sistema acima pode ser re-escrito como
$$\frac{d^2}{dt^2}(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2) = L(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2),$$
ou
$$\ddot{x}_1 = -\omega_1^2 x_1(t), \ddot{x}_2 = -\omega_2^2 x_2(t). $$
Portanto, $x_1(t) = a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t)$ e
$x_2(t) = a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t).$
Portanto a solução geral do problema pode ser expressa como,
$
\left( \begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \end{array} \right) = (a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t))e_1 +
(a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t))e_2.$
A ortogonalidade de $e_1,e_2$ têm um papel fundamental na solução do problema de Cauchy para a equação de segunda ordem acima.
Por exemplo, dados
$\left( \begin{array}{c}
x_1(0) \\
x_2(0) \end{array} \right)$ e
$\left( \begin{array}{c}
\dot{x}_1(0) \\
\dot{x}_2(0) \end{array} \right)$, $a_i,b_i$ acima podem ser determinados através de projeções ortogonais nos vetores $e_1,e_2$.
De volta à equação da onda,
\dot{x}_1(0) \\
\dot{x}_2(0) \end{array} \right)$, $a_i,b_i$ acima podem ser determinados através de projeções ortogonais nos vetores $e_1,e_2$.
De volta à equação da onda,
seja $L = \frac{d^2}{dx^2}$ atuando no espaço $E_N$ acima. Note que $\exp(ikx)$ é autovetor (autofuncão de $L$) com autovalor $-k^2$.
Observação. No caso geral, $L = a^2 \frac{d^2}{dx^2}$ os autovalores são $-a^2 k^2$.
De acordo com a nossa discussão acima,
a solução geral do sistema
$u_{tt} = L u$ no espaço $E_N$ é dada por
$$u(x,t) = \sum_{k = -N}^{k = N} (a_k \sin(k t) + b_k \cos(k t))\exp(i k x).$$
Agora dados $u(x,0) = \phi(x) \ in E_N$ e $u_t(x,0) = \psi(x) \in E_N$ como calcular $a_k,b_k$ acima?
Use projeção ortogonais!
O próximo passo é considerar o problema de Cauchy para a equação da corda com condição de fronteira periódica com condições iniciais mais gerais, por exemplo funções do tipo $\vert x\vert (onda tipo serra) ou uma onda quadrada . Para isso nós precisamos falar sobre a idéia de série de Fourier. A idéia é representar qualquer função períodica (uma onda ou sinal períodico) como uma série infinita de senos e cosenos.
Nós pontos de discontinuidade, no limite $N\to \infty$ as curvas $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{N}(a_0 \cos(kx) + b_0\sin(kx))$ têm um superávit na forma de um segmento vertical cujo tamanho pode calculado explicitamente. Esse segmento extra é conhecido como zumbido de Gibbs, ou fenômeno de Gibbs.
Você pode visualizar o fenômeno de Gibbs com o seguinte Java Applet: http://lcavwww.epfl.ch/~prandoni/dsp/gibbs/gibbs.html .
Observação. No caso geral, $L = a^2 \frac{d^2}{dx^2}$ os autovalores são $-a^2 k^2$.
De acordo com a nossa discussão acima,
a solução geral do sistema
$u_{tt} = L u$ no espaço $E_N$ é dada por
$$u(x,t) = \sum_{k = -N}^{k = N} (a_k \sin(k t) + b_k \cos(k t))\exp(i k x).$$
Agora dados $u(x,0) = \phi(x) \ in E_N$ e $u_t(x,0) = \psi(x) \in E_N$ como calcular $a_k,b_k$ acima?
Use projeção ortogonais!
O próximo passo é considerar o problema de Cauchy para a equação da corda com condição de fronteira periódica com condições iniciais mais gerais, por exemplo funções do tipo $\vert x\vert (onda tipo serra) ou uma onda quadrada . Para isso nós precisamos falar sobre a idéia de série de Fourier. A idéia é representar qualquer função períodica (uma onda ou sinal períodico) como uma série infinita de senos e cosenos.
Nós pontos de discontinuidade, no limite $N\to \infty$ as curvas $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{N}(a_0 \cos(kx) + b_0\sin(kx))$ têm um superávit na forma de um segmento vertical cujo tamanho pode calculado explicitamente. Esse segmento extra é conhecido como zumbido de Gibbs, ou fenômeno de Gibbs.
Você pode visualizar o fenômeno de Gibbs com o seguinte Java Applet: http://lcavwww.epfl.ch/~prandoni/dsp/gibbs/gibbs.html .
domingo, 7 de agosto de 2011
Lista de exercícios 1 para o curso de PDEs
1. (Problema cinematográfico.) Esboçe quadros sucessivos da propagação da onda
usando a fórmula de D'Alembert.
Aqui $u\vert_{t=0}=\phi(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \psi(x)$.
Assuma que o suporte (o conjunto de pontos onde a função não se anula) é um intervalo fechado de tamanho 1. Qualquer intervalo funciona.
2. Resolva o problema (1) mas reverta os papéis de $\phi$ and $\phi$.
3. Mostre que o espaço $C^k(a,b)$ the funções no intervalo $[a,b]$ diferenciáveis até ordem $k$ forma um espaço vetorial linear.
4. Será que o subespaço do espaço de funções integráveis (no sentido de Riemann) no intervalo $[0,1]$ e que têm média 1 é um espaço linear?
5. Verifique of espaço de soluções da equação $\frac{d^2u}{dx^2} = 1$ não é um espaço linear.
O espaço natural para se estudar vários problemas da teoria de EDPs é o espaço $Lˆ2[a,b]$ que consiste de todas as funções $f$ que têm integral $\int_a^b f\bar{f} dx$ finita. (Nós dizemos que a "energia" da função $f$ é finita.) Nesse conjuntos existem funções que não são nem contínuas. O espaço $L^2[a,b]$ vêm equipado com um produto interno Hermitiano natural definido por
$$(f,g) = \int_a^b f\bar{g} dx.$$
(Assumindo que as funções podem assumir valores complexos.)
6. Mostre que os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes no intervalo $[0,1]$.
(a) $1,x,x^2,x^3 \dots$ ;
(b) $\exp(i k x)$ , $k \in \mathbb{Z}$ no intervalo $[0,2\pi]$.
7. Prove que o sistema de funções $\sin(n + \frac{1}{2})x, \cos(n + \frac{1}{2})x$ é um sistema ortogonal no intervalo $[0,\pi]$.
8. Mostre que os polinômios de Legendre $P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)$, $n=1,2,\dots$ forma um sistema ortogonal em $[-1,1]$.
9. Mostre que duas autofunções do operador $L = -\frac{d^2}{dx^2}$ definido no espaço $C^2((0,1))\cap C^1[0,1]$ e com condições de fronteira $(hu - u_x)\vert_{x=0} = u\vert_{x=1}=0$ são ortogonais se os autovalores são distintos.
Os próximos problemas são sobre a equação de adveção e a equação de onda, e sobre séries de Fourier.
10. Resolva a equação $u_t + x u_x = 0$ para $u\vert_{t=0} = \sin(x)$.
11. Encontre a solução do problema de Cauchy com $u\vert_{t=0} = \sin^3(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \sin(x)$ para equação da corda $u_{tt} - u_{xx} = 0$.
10. Será que a série de Fourier $1 + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{3}\cos(3x) + \dots$ pode ser a série de Fourier de alguma função continuamente diferenciável?
11. Encontre o polinômio trigonométrico que melhor aproxima em $Lˆ2[-1,1]$ as funções $\vert x\vert$ e $\sin(x/2)$. Um polinômio trigonométrico de ordem $N$ é uma combinação linear de senos e cossenos com frequências de $1$ à $N$ e possivelmente um termo constante.
12. (Série de Fourier da função de Heaviside.) Considere a função de Heaviside.
Nós vamos consider a extensão periódica dessa função na reta.
Primeiro nos definimos a função $s(x)$ (função "pulo") no intervalo $[-\pi,\pi]$ como
$$ s(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{if } -\pi < x < 0 \\
1 & \mbox{if } -\pi < x < 0 \\
\end{array}
\right.$$
Determine a série de Fourier de $s(x)$. O que acontece nos pontos de descontinuidade?Avalie a função em $0,-\pi$ e $\pi$.
Observação. Embora tenhamos utilizado funções com valores complexos na construção da teoria de séries de Fourier, as séries de Fourier de uma uma função tomando somente valores reais é real. (Por quê?)
Aqui $u\vert_{t=0}=\phi(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \psi(x)$.
Assuma que o suporte (o conjunto de pontos onde a função não se anula) é um intervalo fechado de tamanho 1. Qualquer intervalo funciona.
2. Resolva o problema (1) mas reverta os papéis de $\phi$ and $\phi$.
3. Mostre que o espaço $C^k(a,b)$ the funções no intervalo $[a,b]$ diferenciáveis até ordem $k$ forma um espaço vetorial linear.
4. Será que o subespaço do espaço de funções integráveis (no sentido de Riemann) no intervalo $[0,1]$ e que têm média 1 é um espaço linear?
5. Verifique of espaço de soluções da equação $\frac{d^2u}{dx^2} = 1$ não é um espaço linear.
O espaço natural para se estudar vários problemas da teoria de EDPs é o espaço $Lˆ2[a,b]$ que consiste de todas as funções $f$ que têm integral $\int_a^b f\bar{f} dx$ finita. (Nós dizemos que a "energia" da função $f$ é finita.) Nesse conjuntos existem funções que não são nem contínuas. O espaço $L^2[a,b]$ vêm equipado com um produto interno Hermitiano natural definido por
$$(f,g) = \int_a^b f\bar{g} dx.$$
(Assumindo que as funções podem assumir valores complexos.)
6. Mostre que os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes no intervalo $[0,1]$.
(a) $1,x,x^2,x^3 \dots$ ;
(b) $\exp(i k x)$ , $k \in \mathbb{Z}$ no intervalo $[0,2\pi]$.
7. Prove que o sistema de funções $\sin(n + \frac{1}{2})x, \cos(n + \frac{1}{2})x$ é um sistema ortogonal no intervalo $[0,\pi]$.
8. Mostre que os polinômios de Legendre $P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)$, $n=1,2,\dots$ forma um sistema ortogonal em $[-1,1]$.
9. Mostre que duas autofunções do operador $L = -\frac{d^2}{dx^2}$ definido no espaço $C^2((0,1))\cap C^1[0,1]$ e com condições de fronteira $(hu - u_x)\vert_{x=0} = u\vert_{x=1}=0$ são ortogonais se os autovalores são distintos.
Os próximos problemas são sobre a equação de adveção e a equação de onda, e sobre séries de Fourier.
10. Resolva a equação $u_t + x u_x = 0$ para $u\vert_{t=0} = \sin(x)$.
11. Encontre a solução do problema de Cauchy com $u\vert_{t=0} = \sin^3(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \sin(x)$ para equação da corda $u_{tt} - u_{xx} = 0$.
10. Será que a série de Fourier $1 + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{3}\cos(3x) + \dots$ pode ser a série de Fourier de alguma função continuamente diferenciável?
11. Encontre o polinômio trigonométrico que melhor aproxima em $Lˆ2[-1,1]$ as funções $\vert x\vert$ e $\sin(x/2)$. Um polinômio trigonométrico de ordem $N$ é uma combinação linear de senos e cossenos com frequências de $1$ à $N$ e possivelmente um termo constante.
12. (Série de Fourier da função de Heaviside.) Considere a função de Heaviside.
Nós vamos consider a extensão periódica dessa função na reta.
Primeiro nos definimos a função $s(x)$ (função "pulo") no intervalo $[-\pi,\pi]$ como
$$ s(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{if } -\pi < x < 0 \\
1 & \mbox{if } -\pi < x < 0 \\
\end{array}
\right.$$
Determine a série de Fourier de $s(x)$. O que acontece nos pontos de descontinuidade?Avalie a função em $0,-\pi$ e $\pi$.
Observação. Embora tenhamos utilizado funções com valores complexos na construção da teoria de séries de Fourier, as séries de Fourier de uma uma função tomando somente valores reais é real. (Por quê?)
sábado, 6 de agosto de 2011
EDPs I, aula 1: De onde vêm as EDPs?
Na quarta-feita nós vimos alguns exemplos básicos de EDPs lineares incluindo a equação de advecção
$ c_t(x,t) + (U(x) c(x,t)) = 0 \text{(ADV)}$ e a equação da onda $u_{tt} - a^2 u_{xx}=0 \text{(ONDA)}$.
Nós vimos que a equação de adversão descreve o transporte da concentração de uma certa substância por um campo de vectores $U$ no domínio de definição $D$ de $c(x,t)$. No nosso caso $c(x,t)$ esta definida para $t\geq 0$ e $-\infty<x< \infty$.
Para simplificar nossas considerações iniciais, nós assumimos que $U$ era um campo constante e que o nosso universo só têm uma variável espacial.
No caso de um campo constante, o problema de Cauchy para a equação de adversão é fácil de resolver.
Dada uma distribuição inicial da concentração $c_0(x)$ a solução do problema de valor inicial (abr. PVI) é
$$c(x,t) = c_0(x - Ut). $$
Em outras palavras, dependendo do sinal de $U$ a distribuição inicial se move para a direita ou para esquerda.
Como nós sabemos, a translação do argumento por um factor negativo produz uma translação à direita do gráfico da função.
Uma solução teórica da equação de advecção é possível através do método das características.
As características de ADV são as trajectórias do campo de vector definido pela equação
$$\dot{x} = U(x), x(0) = x_0 (\text{CAR}).$$
Intuitivamente se nós colocarmos um marcador no ponto $x_0$ a equação descreve como essa partícula se move sob a acção do campo $U(x)$.
Um dos nossos primeiros exercícios de aquecimento foi uma conta onda calculávamos $c(x,t)$ como uma função de $x(t;x_0)$. Às vezes a função $x(t;x_0)$ é chamado o fluxo do campo CAR.
Um problema desse método é que o cálculo de $c(x,t)$ se $t \gg 1$ exige o conhecimento de $x(t,x_0)$ para longos intervalos de tempos.
Nesse sentido a introdução de métodos práticos para o cálculo numérico das soluções se torna inevitável.
Em seguida nos conversamos sobre a equação da corda, ou equação da onda.
Nós vimos que a mudança de coordenadas $\xi = x - at$ e $\eta = x + at$ reduz a equação da corda à uma forma muito simples
$$(u_{\xi})_{\eta} = 0.$$ Aplicando do teorema fundamental do cálculo nós pudemos obter a forma geral da solução como
$$u(x,t) = F(x - at) + G(x - at).$$
A presença de duas funções arbitrárias no lado direito nos leva a concluir que o PVI para a equação de onda demanda duas condições iniciais, tipicamente dadas como
$u\vert_{t=0} = \phi(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \psi(x)$.
Através da formula de D'Alembert nós podemos escrever a solução do PVI para $t\ge 0$ e $x \in (-\infty,\infty)$ explicitamente.
O Filippo perguntou se é possível resolver a equação da corda conhecendo somente a forma da corda para dois valores distintos de tempo, i.e., $u\vert_{t=0}$ and $u\vert_{t=1}$. Meu chute é que provavelmente sim.
Outra vantagem da fórmula de D'Alembert é que ela fornece informação qualitativa sobre a evolução de $u(x,t)$.
Isso foi ilustrado através dos "problemas cinematográficos.
$ c_t(x,t) + (U(x) c(x,t)) = 0 \text{(ADV)}$ e a equação da onda $u_{tt} - a^2 u_{xx}=0 \text{(ONDA)}$.
Nós vimos que a equação de adversão descreve o transporte da concentração de uma certa substância por um campo de vectores $U$ no domínio de definição $D$ de $c(x,t)$. No nosso caso $c(x,t)$ esta definida para $t\geq 0$ e $-\infty<x< \infty$.
Para simplificar nossas considerações iniciais, nós assumimos que $U$ era um campo constante e que o nosso universo só têm uma variável espacial.
No caso de um campo constante, o problema de Cauchy para a equação de adversão é fácil de resolver.
Dada uma distribuição inicial da concentração $c_0(x)$ a solução do problema de valor inicial (abr. PVI) é
$$c(x,t) = c_0(x - Ut). $$
Em outras palavras, dependendo do sinal de $U$ a distribuição inicial se move para a direita ou para esquerda.
Como nós sabemos, a translação do argumento por um factor negativo produz uma translação à direita do gráfico da função.
Uma solução teórica da equação de advecção é possível através do método das características.
As características de ADV são as trajectórias do campo de vector definido pela equação
$$\dot{x} = U(x), x(0) = x_0 (\text{CAR}).$$
Intuitivamente se nós colocarmos um marcador no ponto $x_0$ a equação descreve como essa partícula se move sob a acção do campo $U(x)$.
Um dos nossos primeiros exercícios de aquecimento foi uma conta onda calculávamos $c(x,t)$ como uma função de $x(t;x_0)$. Às vezes a função $x(t;x_0)$ é chamado o fluxo do campo CAR.
Um problema desse método é que o cálculo de $c(x,t)$ se $t \gg 1$ exige o conhecimento de $x(t,x_0)$ para longos intervalos de tempos.
Nesse sentido a introdução de métodos práticos para o cálculo numérico das soluções se torna inevitável.
Em seguida nos conversamos sobre a equação da corda, ou equação da onda.
Nós vimos que a mudança de coordenadas $\xi = x - at$ e $\eta = x + at$ reduz a equação da corda à uma forma muito simples
$$(u_{\xi})_{\eta} = 0.$$ Aplicando do teorema fundamental do cálculo nós pudemos obter a forma geral da solução como
$$u(x,t) = F(x - at) + G(x - at).$$
A presença de duas funções arbitrárias no lado direito nos leva a concluir que o PVI para a equação de onda demanda duas condições iniciais, tipicamente dadas como
$u\vert_{t=0} = \phi(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \psi(x)$.
Através da formula de D'Alembert nós podemos escrever a solução do PVI para $t\ge 0$ e $x \in (-\infty,\infty)$ explicitamente.
O Filippo perguntou se é possível resolver a equação da corda conhecendo somente a forma da corda para dois valores distintos de tempo, i.e., $u\vert_{t=0}$ and $u\vert_{t=1}$. Meu chute é que provavelmente sim.
Outra vantagem da fórmula de D'Alembert é que ela fornece informação qualitativa sobre a evolução de $u(x,t)$.
Isso foi ilustrado através dos "problemas cinematográficos.
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