4. Esboçe o gráfico de g = f\star f, onde f é o pulso quadrado,
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \vert x\vert \leq 1/2 \\ 0,& \vert x\vert > 1/2. \end{array}. \right.
Calcule h = f\star f\star f. Esboçe o gráfico aqui também.
5. Seja \delta_N a sequência do tipo delta \delta_N(x) = \left\{ \begin{array}{ll} N, & \vert x\vert \leq \frac{1}{2N} \\ 0, & \vert x\vert > \frac{1}{2N} \end{array}. \right.
Mostre que \lim_{N\to \infty} \widehat{\delta_N}(k) = 1. Isso mostra que a transformada de Fourier da função \delta(x) (o delta de Dirac) é, como um limite fraco, identicamente 1.
6. Seja f(x) = \exp(-a x^2), a > 0.
O integrando da integral \widehat{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-ax^2 - ikx) dx é analítico e não contém nenhuma singularidade na parte finita do plano.
O valor dessa integral para cada k não muda se ao invés de integrarmos na reta real nós integrarmos ao longo da reta z(t) = \sigma + i t, \sigma \in \mathbb{R}. (Teorema de Cauchy para integração complexa.)
Portanto,
rescreva a integral de Fourier como uma integral ao longo da reta z(t) = \sigma + it. Sabendo que \int_{\mathbb{R}} \exp(-a x^2) dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}} calcule a transformada de f(x).
7. (A equação do calor) Considere a equação do calor,
u_t(x,t) - u_{xx}(x,t) = 0, t\geq 0 e x\in (-\infty,\infty). O problema de Cauchy para essa equação pede que dados u_0(t) nós calculemos u(x,t) para t\geq 0. Aplique a transformada de Fourier (com respeito à x) e obtenha uma equação diferencial ordinária para \widehat{u}(k). Assuma que u(x,t) é boa o sufficiente de tal forma que as operações \frac{\partial}{\partial t}(\dots) e \int_{\infty}^{\infty}(\dots) comutem.
Utilize o exercício anterior para calcular a transformação inversa (com respeito à k) de \widehat{u}(k,t).
Lembre-se que u(x,0) = u_0(x) e portanto \widehat{u}(k,0) = \widehat{u_0}(k).
Como fica a solução anterior se u_0(x) = \delta(x) ou \delta(x-a)?
8. Prova elementar do teorema de convergência de Fourier. O autor é o professor P. Chernoff.
(a) Seja f(x) uma função C^1 de período 2\pi e suponha que f(0) = 0. Nos próximos items nos vamos demonstrar que a série de Fourier da função converge em x = 0 para f(0)=0. Em seguida nós demonstraremos que ela converge para qualquer ponto no domínio fundamental [0,2\pi].
(b) Seja g(x) = f(x)/(\exp(ix) - 1). Mostre que lim_{x\to 0} g(x) existe e defina g(0) como sendo esse limite. Isso amarra a função em x = 0, garantindo continuidade. Como ambos o numerador e o denominador são 2\pi periódicos, nós teremos então uma função contínua e periódica na reta toda.
A função sendo contínua no intervalo [0,2\pi] os coefficientes de Fourier são bem-definidos.
(c) Seja c_k e d_k os coeficientes de Fourier de f(x) e g(x) respectivamente. Mostre que
d_k \to 0 quando k\to \infty.
Minha dica, use o lema de Riemann-Lebesgue.
(d) Mostre que c_k = d_k - d_{k-1} e portanto a série \sum c_k é telescópica.
(e) Conclua a demonstração, isto é, mostre que \sum c_k = 0.
Isto é, mostre que \sum_{k=-N}^N c_k \to 0 quando N \to \infty.
(f) Seja h(x) = f(x + x_0) - f(x_0). Então h é C^1, periódica e satisfaz h(0) = 0.
Conclua que se \sum c_k \exp(ik x) é a série de Fourier de f então, \sum c_k \exp(ik x_0) = f(x_0.
Obs.: esse exercício só demonstra convergência puntual.
Anteriormente nós tinhamos demonstrado convergência uniforme no caso em que f era C^2.
8. Prova elementar do teorema de convergência de Fourier. O autor é o professor P. Chernoff.
(a) Seja f(x) uma função C^1 de período 2\pi e suponha que f(0) = 0. Nos próximos items nos vamos demonstrar que a série de Fourier da função converge em x = 0 para f(0)=0. Em seguida nós demonstraremos que ela converge para qualquer ponto no domínio fundamental [0,2\pi].
(b) Seja g(x) = f(x)/(\exp(ix) - 1). Mostre que lim_{x\to 0} g(x) existe e defina g(0) como sendo esse limite. Isso amarra a função em x = 0, garantindo continuidade. Como ambos o numerador e o denominador são 2\pi periódicos, nós teremos então uma função contínua e periódica na reta toda.
A função sendo contínua no intervalo [0,2\pi] os coefficientes de Fourier são bem-definidos.
(c) Seja c_k e d_k os coeficientes de Fourier de f(x) e g(x) respectivamente. Mostre que
d_k \to 0 quando k\to \infty.
Minha dica, use o lema de Riemann-Lebesgue.
(d) Mostre que c_k = d_k - d_{k-1} e portanto a série \sum c_k é telescópica.
(e) Conclua a demonstração, isto é, mostre que \sum c_k = 0.
Isto é, mostre que \sum_{k=-N}^N c_k \to 0 quando N \to \infty.
(f) Seja h(x) = f(x + x_0) - f(x_0). Então h é C^1, periódica e satisfaz h(0) = 0.
Conclua que se \sum c_k \exp(ik x) é a série de Fourier de f então, \sum c_k \exp(ik x_0) = f(x_0.
Obs.: esse exercício só demonstra convergência puntual.
Anteriormente nós tinhamos demonstrado convergência uniforme no caso em que f era C^2.
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