4. Esboçe o gráfico de $g = f\star f$, onde $f$ é o pulso quadrado,
$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1, & \vert x\vert \leq 1/2 \\
0,& \vert x\vert > 1/2.
\end{array}.
\right. $
Calcule $h = f\star f\star f$. Esboçe o gráfico aqui também.
5. Seja $\delta_N$ a sequência do tipo delta $\delta_N(x) = \left\{ \begin{array}{ll} N, & \vert x\vert \leq \frac{1}{2N} \\
0, & \vert x\vert > \frac{1}{2N}
\end{array}.
\right.$
Mostre que $\lim_{N\to \infty} \widehat{\delta_N}(k) = 1.$ Isso mostra que a transformada de Fourier da função $\delta(x)$ (o delta de Dirac) é, como um limite fraco, identicamente 1.
6. Seja $f(x) = \exp(-a x^2), a > 0$.
O integrando da integral $\widehat{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-ax^2 - ikx) dx$ é analítico e não contém nenhuma singularidade na parte finita do plano.
O valor dessa integral para cada $k$ não muda se ao invés de integrarmos na reta real nós integrarmos ao longo da reta $z(t) = \sigma + i t, \sigma \in \mathbb{R}$. (Teorema de Cauchy para integração complexa.)
Portanto,
rescreva a integral de Fourier como uma integral ao longo da reta $z(t) = \sigma + it$. Sabendo que $\int_{\mathbb{R}} \exp(-a x^2) dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ calcule a transformada de $f(x)$.
7. (A equação do calor) Considere a equação do calor,
$$u_t(x,t) - u_{xx}(x,t) = 0,$$ $t\geq 0$ e $x\in (-\infty,\infty)$. O problema de Cauchy para essa equação pede que dados $u_0(t)$ nós calculemos $u(x,t)$ para $t\geq 0$. Aplique a transformada de Fourier (com respeito à $x$) e obtenha uma equação diferencial ordinária para $\widehat{u}(k)$. Assuma que $u(x,t)$ é boa o sufficiente de tal forma que as operações $\frac{\partial}{\partial t}(\dots)$ e $\int_{\infty}^{\infty}(\dots)$ comutem.
Utilize o exercício anterior para calcular a transformação inversa (com respeito à $k$) de $\widehat{u}(k,t)$.
Lembre-se que $u(x,0) = u_0(x)$ e portanto $\widehat{u}(k,0) = \widehat{u_0}(k)$.
Como fica a solução anterior se $u_0(x) = \delta(x)$ ou $\delta(x-a)$?
8. Prova elementar do teorema de convergência de Fourier. O autor é o professor P. Chernoff.
(a) Seja $f(x)$ uma função $C^1$ de período $2\pi$ e suponha que $f(0) = 0$. Nos próximos items nos vamos demonstrar que a série de Fourier da função converge em $x = 0$ para $f(0)=0$. Em seguida nós demonstraremos que ela converge para qualquer ponto no domínio fundamental $[0,2\pi]$.
(b) Seja $g(x) = f(x)/(\exp(ix) - 1)$. Mostre que $ lim_{x\to 0} g(x)$ existe e defina $g(0)$ como sendo esse limite. Isso amarra a função em $x = 0$, garantindo continuidade. Como ambos o numerador e o denominador são $2\pi$ periódicos, nós teremos então uma função contínua e periódica na reta toda.
A função sendo contínua no intervalo $[0,2\pi]$ os coefficientes de Fourier são bem-definidos.
(c) Seja $c_k$ e $d_k$ os coeficientes de Fourier de $f(x)$ e $g(x)$ respectivamente. Mostre que
$d_k \to 0$ quando $k\to \infty$.
Minha dica, use o lema de Riemann-Lebesgue.
(d) Mostre que $c_k = d_k - d_{k-1}$ e portanto a série $\sum c_k$ é telescópica.
(e) Conclua a demonstração, isto é, mostre que $\sum c_k = 0$.
Isto é, mostre que $\sum_{k=-N}^N c_k \to 0$ quando $N \to \infty.$
(f) Seja $h(x) = f(x + x_0) - f(x_0)$. Então $h$ é $C^1$, periódica e satisfaz $h(0) = 0$.
Conclua que se $\sum c_k \exp(ik x)$ é a série de Fourier de $f$ então, $\sum c_k \exp(ik x_0) = f(x_0$.
Obs.: esse exercício só demonstra convergência puntual.
Anteriormente nós tinhamos demonstrado convergência uniforme no caso em que $f$ era $C^2$.
8. Prova elementar do teorema de convergência de Fourier. O autor é o professor P. Chernoff.
(a) Seja $f(x)$ uma função $C^1$ de período $2\pi$ e suponha que $f(0) = 0$. Nos próximos items nos vamos demonstrar que a série de Fourier da função converge em $x = 0$ para $f(0)=0$. Em seguida nós demonstraremos que ela converge para qualquer ponto no domínio fundamental $[0,2\pi]$.
(b) Seja $g(x) = f(x)/(\exp(ix) - 1)$. Mostre que $ lim_{x\to 0} g(x)$ existe e defina $g(0)$ como sendo esse limite. Isso amarra a função em $x = 0$, garantindo continuidade. Como ambos o numerador e o denominador são $2\pi$ periódicos, nós teremos então uma função contínua e periódica na reta toda.
A função sendo contínua no intervalo $[0,2\pi]$ os coefficientes de Fourier são bem-definidos.
(c) Seja $c_k$ e $d_k$ os coeficientes de Fourier de $f(x)$ e $g(x)$ respectivamente. Mostre que
$d_k \to 0$ quando $k\to \infty$.
Minha dica, use o lema de Riemann-Lebesgue.
(d) Mostre que $c_k = d_k - d_{k-1}$ e portanto a série $\sum c_k$ é telescópica.
(e) Conclua a demonstração, isto é, mostre que $\sum c_k = 0$.
Isto é, mostre que $\sum_{k=-N}^N c_k \to 0$ quando $N \to \infty.$
(f) Seja $h(x) = f(x + x_0) - f(x_0)$. Então $h$ é $C^1$, periódica e satisfaz $h(0) = 0$.
Conclua que se $\sum c_k \exp(ik x)$ é a série de Fourier de $f$ então, $\sum c_k \exp(ik x_0) = f(x_0$.
Obs.: esse exercício só demonstra convergência puntual.
Anteriormente nós tinhamos demonstrado convergência uniforme no caso em que $f$ era $C^2$.
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