Correção do final da aula.

Abaixo $S^1$ é o intervalo $[-\pi,\pi]$ com os pontos finais identificados. (Um círculo!)



Dada $\phi$ de classe $C^2(S^1)$ (i.e. $C^2$ e periódica de periodo $2\pi$) nós sabemos que a série de Fourier de $\phi$ $\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(ikx)$ converge uniformemente para alguma função $f(x)$.

Por consequência essa função têm a mesma série de $\phi$. Isso pode ser provado por integração termo a termo.


Proposição. $f(x) = \phi(x)$.

Prova por contradição.

Caso não, $\delta(x) = \phi(x) - \delta(x)$ não é identicamente zero e portanto existe um ponto $x_0 \in [-\pi,\pi]$ onde a função é differente de zero. Na verdade existe uma vizinhança aberta desse ponto onde $\delta(x)$ não se anula.


Nós podemos demonstrar que $\delta(x)$ têm série de Fourier zero. Isso implica que $(\delta(x),\exp(ixk)) = 0, \forall k \in \mathbb{Z}.$ Essa última igualdade diz que os coefficientes da série de Fourier são todos zeros.


Seguindo a sugestão do Daniel, existem uma versão do teorema de aproximação de Weierstrass que diz que toda função contínua e $2\pi$-periódica pode ser aproximada por polinômios trigonométricos, para qualquer ordem de precisão que você especificar. Eu vou falar mais sobre essa extensão do teorema de Weierstrass depois que eu terminar a prova da proposição.


Considere a norma de $\delta(x),$

$\vert\vert \delta(x)\vert \vert = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta(x)^2 dx = m > 0.$


Por outro lado, pelo teorema de Weierstrass, existe um polinômio trigonométrico (real) da forma

$\sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)$, $c_k = \bar{c}_{-k},$ que aproxima $\delta(x)$ com precisão

$$\max_{x\in [-\pi,\pi]} \vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert < m/10^{20}.$$


Como comparar a norma do máximo e a norma Hermitina?

Nós temos a seguinte desigualdade,


$\vert\vert f\vert\vert^2 = (f(x),f(x)) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx \leq  2\pi \times \max_{S^1} \vert f(x)\vert^2 = 2\pi \times (\max_{S^1} \vert f(x)\vert)^2.$


Por outro lado, por Pitagora nós temos a igualdade,

$\vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2 = \vert\vert \delta(x)\vert\vert^2 + \vert\vert  \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x) \vert\vert^2.$

Mas

$\vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2 \leq 2\pi \times (\max_{S^1} \vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert)^2 < 2 \pi m^2/10^{40}.$

Portanto,

 $m^2 < \vert\vert \delta(x) - \sum_{k=-N}^{N}c_k \exp(i k x)\vert\vert^2  \leq  2 \pi m^2/10^{40}.$

Eis a contradição procurada.

Para encerrar a postagem essa noite eu comentarei sobre a versão trigonométrica do teorema de Weierstrass.

O teorema de Weiertrass em duas dimensões diz que no quadrado unitário, os polinômios em $x,y$ são densos no espaço $C^0([0,1]\times [0,1])$, o espaço de funções contínuas no quadrado unitário. Em particular, esses polinômios são densos em qualquer subespaço compacto do quadrado.

O círculo de raio 1 é um subconjunto compacto do quadradro unitário, e mapa $s\to (\cot(s),\sin(s))$ mostra que qualquer os polínomios trigonométricos são restrições de polínomios em $x$ e $y$.