O fenômeno de Gibbs

A série de Fourier de uma função descontínua $\phi(x)$ periódica não pode convergir uniformemente para a função, mas ela pode convergir ponto-à-ponto.

Nos pontos de descontinuidade a seqüência dos gráficos das somas parciais $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx))$ converge para uma curva que é uma superposição do gráfico da função descontínua original e segmentos e segmentos verticais que excedem o tamanho do salto $\delta$ da função na descontinuidade por aproximadamente $0.08 \times \delta$ acima e abaixo do gráfico original.

Ilustremos o fenômeno. Considere a função onda quadrada com saltos de $\pi/2$ nos pontos de descontinuidade. Isto é, quando $x = 0, \pm \pi, \dots $ etc. a função salta de $-\pi/4$ para $\pi/4$.

Se a função fosse  contínua a seqüência $S_N(\pi/N)$ convergiria para $\phi(0) = 0.$

(Em geral,  nos pontos de descontinuidade $p$ de $\phi(x)$, a série de Fourier converge para a média
$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(p + \epsilon^2) + \phi(p - \epsilon^2)}{2}.$ )

É fácil calcular a $S_N(x)$ para a onda quadrada,
$$2\times S_N(x) =  \sin(x) + \frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{1}{5}\sin(5x) + \dots + \frac{1}{N-1} \sin ((N-1)x),$$
onde o último termo só é não zero se $N$ for par.

Nós temos
$2\times S_N(\pi/N) = \sin(\pi/N) + \frac{1}{3}\sin(3\pi/N) + \frac{1}{5}\sin(5\pi/N) + \dots + \frac{1}{N} \sin ((N-1) \pi/N), $
$ =\times( 0 +  \frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{\pi}{N})}{\frac{\pi}{N}} + \frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{3\pi}{N})}{\frac{3\pi}{N}} +

\frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{5\pi}{N})}{\frac{5\pi}{N}} + \dots +

\frac{\pi}{N}\frac{\sin(\frac{(N-1)\pi}{N})}{\frac{\pi}{N}}).$

Tomando o limite $N \to \infty$ a soma parcial na última linha se torna,

$\to  \int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx = 1.85194 \Rightarrow  S_N(\pi/N) \approx 0.5 \times 1.85194 \approx \pi/4 + 0.08 \times \pi/2 . $
(Nós tínhamos uma soma de Riemann no intervalo de $[0,\pi]$,  onde na aproximação por retângulos nós dividimos o intervalo em $k$ ou $k-1$ subintervalos, dependendo se $N=2k$ ou $2k-1$ e a altura de cada sub-retângulo era o valor da função no meio dos subintervalos.)

A função $\text{sinc}(x) = \sin(x)/x$ é bem conhecida na literatura, e é continua no intervalo $[0,\pi]$.