Solução do testinho 1 (função de Dirac periódica)

No testinho 1 eu pedi que vocês calculassem a expansão de Fourier de
$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} -1, & x\in(-\pi,0) \\ 1, & x\in (0,\pi) \end{array} \right.$
e extendida periódicamente, i.e. nós recortamos e colamos o gráfico da função em cada intervalo $[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]$ etc.

Em seguida eu pedi que a derivada (no sentido generalizado) de $f(x)$ fosse calculada também. O problema perguntava se a série de Fourier da função original poderia ser calculada a partir da série de Fourier da derivada por integração termo-a-termo.

A série de Fourier de $f(x)$ é $\sum_{\text{k impar}}\frac{4}{\pi k} \sin(kx).$
(A função é ímpar e real.)

O tamanho da descontinuidade da função $f$ no ponto $x = 0$ é 2. O que eu quero dizer é que o pulo têm tamanho + 2 unidades.
No ponto $x = \pi$ o módulo do pulo é o mesmo, mas o sinal muda. E pensando periodicamente você generaliza como o padrão.

As vezes a função $f(x)$ é chamada de função sinal, pois ela retorna o sinal de um número real.

Como a maioria percebeu, $f(x) = 2\theta(x) - 1 \Rightarrow f'(x) = 2\delta(x)$ onde $\theta(x)$ é a função de Heaviside ou a anti-derivada generalizada de $\delta(x)$.

Se não estivéssemos no caso periódico poderíamos parar aqui. Mas a função $f(x)$ é periódica,
e a derivada correta é
$f(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}}c_k \exp(ikx) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} 2 (-1)^k \delta(x - k\pi).$

Ou, nós podemos pensar que $\delta(x)$ é o limite de uma sequência de funções do tipo delta, que são $2\pi$ periódicas e que no intervalo fundamental $[-\pi,\pi]$ têm a forma,
$\delta_N(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -N, & x \in (-\pi,-\pi + 1/2N) \\ N, & x \in (-1/2N,1/2N) \\ -N, & x \in (\pi - 1/2N,\pi) \end{array} \right.$

Se você esboçar esseas funções o desenho se parece com uma coleção de caixinhas de altura $N$ (ou -$N$) ao redor de cada $k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Os coeficientes de Fourier de $f'(x)$, que chamaremos aqui $d_k$ são calculados como
$d_k = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta_N(x) \exp(-ixk) dx.$

Escrevendo $f'(x) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} d_k \exp(ikx)$ e integrando termo-a-termo na série infinita nos recuperaremos $\sum c_k exp(ikx)$.