segunda-feira, 8 de agosto de 2011

Sumário da aula 2 (08/AUG/2011)

Hoje nós começamos por enunciar nossos futuros método de resolução de EDPs lineares durante esse semestre. Estes métodos analíticos incluem,


  1. métodos espectrais (e.g. Fourier, ou qualquer método de expansão em autofunções de um operador diferencial tal que o espectro é negativo e zero não é autovalor);
  2. funções de Green, ou soluções fundamentais das equações lineares.  As palavras chaves aqui é função são a função delta $\delta(x)$ e convolução. 
  3. elementos finitos, útil no cálculo numérico de soluções.  
Hoje n\'os introduzimos o método espectral de Fourier para resolvermos a equação da corda com condições de fronteira periódicas, $$u(x+l,t) = u(x,t)$$. Por conveniência nós tomamos o tamanho da corda $l$ como sendo $2\pi$. 

Nosso primeiro passo foi definir de maneira informal um espaço vetorial de funções. 
No curso de álgebra linear nós definimos um espaço vetorial como uma extensão abstrata dos conhecidos $\mathbb{R}^N$. Esses espaços possuem uma origem, e adição e escalonamento de vetores é também possível. Além disso nos revemos as noções de produto interno e produto Hermitiano. Essas estruturas introduzem geometria nos espaços vetoriais (resp. de funções) pois permitem-nos falar de tamanho e ângulo. 

O espaço $\mathbb{R}^N$ têm um produto interno bem conhecido definido por 
$$x\bullet y = x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_Ny_N,$$ onde $x = (x_1,\dots,x_N)$ e $y = (y_1,\dots,y_N).$  

Produtos Hermitianos aparecem em espaços vetoriais complexos, e os físicos estudando mecânica quântica são bem familiarizados com essas idéias. 

Nós consideramos para começar o espaço (complexo) de polinômios trigonométricos 
$$E_N = \{ \sum_{k=-N}^{N} c_k \exp(i k x), c_k\in \mathbb{C} \}. $$ 
Observação. A variável $x$ contínua sendo real. (Este é um espaço de funções definidas na reta real e tomando valores complexos.) 

Exercício. Qual a dimensão complexa desse espaço?

Existe uma "versão" real desse espaço (não é realificação álgebrica do mesmo) que nos denotaremos por 

$$S_N = \{ a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) :  a_k , b_k \mathbb{R} \}.$$ 

O produto interno aqui é 
$(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\bar{g}dx$. Note que $g$ é conjugada na expressão. 

Voltemos a considerar a equação da onda, 
$$ u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 . $$ 

Se nós considerarmos o nosso espaço de funções admissíveis como sendo o espaço $E_N$, então a equação da corda se torna um sistema equações lineares de dimensão finita, e de segunda ordem. Porquê? 

Tomemos o seguinte exemplo. 
Considere o seguinte exemplo em $\mathbb{R}^2$.  

Considere o sistema linear
$$ \left( \begin{array}{c}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2 \end{array} \right)  =

 \left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array} \right)
.$$

Os autovalores dessa equação são distintos, ambos negativos.
Calcule-os.
Em outras palavras, meu sistema $\ddot{x} = Lx$ com $L$ auto-adjunto com respeito ao produto Euclidiano.
Vamos denotar os auto-valores por $-\omega_1^2$ e $-\omega_2^2$. Como os auto-valores são distintos os autovetores correspondentes são ortogonais.
Além do mais como $L$ é auto-adjunto o sistema linear acima "desconcerta." (Ou separação em modos normais, como os físicos os chamariam.)

Seja $\{e_1,e_2\}$ os autovetores de $L$. Eles formam uma base de $\mathbb{R}^2$. O sistema acima pode ser re-escrito como
$$\frac{d^2}{dt^2}(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2) = L(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2),$$
ou
$$\ddot{x}_1 =  -\omega_1^2 x_1(t), \ddot{x}_2 =  -\omega_2^2 x_2(t). $$

Portanto, $x_1(t) = a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t)$ e
$x_2(t) = a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t).$

Portanto a solução geral do problema pode ser expressa como,
$
\left( \begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \end{array} \right) =    (a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t))e_1 +
(a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t))e_2.$ 

A ortogonalidade de $e_1,e_2$ têm um papel fundamental na solução do problema de Cauchy para a equação de segunda ordem acima.
Por exemplo, dados
$\left( \begin{array}{c}
x_1(0) \\
x_2(0) \end{array} \right)$ e 
$\left( \begin{array}{c}
\dot{x}_1(0) \\
\dot{x}_2(0) \end{array} \right)$, $a_i,b_i$ acima podem ser determinados através de projeções ortogonais nos vetores $e_1,e_2$. 

De volta à equação da onda, 
seja $L = \frac{d^2}{dx^2}$ atuando no espaço $E_N$ acima. Note que $\exp(ikx)$ é autovetor (autofuncão de $L$) com autovalor $-k^2$.

Observação. No caso geral, $L = a^2 \frac{d^2}{dx^2}$ os autovalores são $-a^2 k^2$.

De acordo com a nossa discussão acima,
a solução geral do sistema
$u_{tt} = L u$ no espaço $E_N$ é dada por

$$u(x,t) = \sum_{k = -N}^{k = N}  (a_k \sin(k t) + b_k \cos(k t))\exp(i k x).$$

Agora dados $u(x,0) = \phi(x) \ in E_N$ e $u_t(x,0) = \psi(x) \in E_N$ como calcular $a_k,b_k$ acima?
Use projeção ortogonais!

O próximo passo é considerar o problema de Cauchy para a equação da corda com condição de fronteira periódica com condições iniciais mais gerais, por exemplo funções do tipo $\vert x\vert (onda tipo serra) ou uma onda quadrada . Para isso nós precisamos falar sobre a idéia de série de Fourier. A idéia é representar qualquer função períodica (uma onda ou sinal períodico) como uma série infinita de senos e cosenos.



Nós pontos de discontinuidade, no limite $N\to \infty$ as curvas $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{N}(a_0 \cos(kx) + b_0\sin(kx))$ têm um superávit na forma de um segmento vertical cujo tamanho pode calculado explicitamente. Esse segmento extra é conhecido como zumbido de Gibbs, ou fenômeno de Gibbs.

Você pode visualizar o fenômeno de Gibbs com o seguinte Java Applet: http://lcavwww.epfl.ch/~prandoni/dsp/gibbs/gibbs.html . 

Um comentário:

  1. Esse "zumbido" só aparece no limite, i.e. quando $\lim_{N\to \infty}S_N(x)$.

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