- métodos espectrais (e.g. Fourier, ou qualquer método de expansão em autofunções de um operador diferencial tal que o espectro é negativo e zero não é autovalor);
- funções de Green, ou soluções fundamentais das equações lineares. As palavras chaves aqui é função são a função delta $\delta(x)$ e convolução.
- elementos finitos, útil no cálculo numérico de soluções.
Hoje n\'os introduzimos o método espectral de Fourier para resolvermos a equação da corda com condições de fronteira periódicas, $$u(x+l,t) = u(x,t)$$. Por conveniência nós tomamos o tamanho da corda $l$ como sendo $2\pi$.
Nosso primeiro passo foi definir de maneira informal um espaço vetorial de funções.
No curso de álgebra linear nós definimos um espaço vetorial como uma extensão abstrata dos conhecidos $\mathbb{R}^N$. Esses espaços possuem uma origem, e adição e escalonamento de vetores é também possível. Além disso nos revemos as noções de produto interno e produto Hermitiano. Essas estruturas introduzem geometria nos espaços vetoriais (resp. de funções) pois permitem-nos falar de tamanho e ângulo.
O espaço $\mathbb{R}^N$ têm um produto interno bem conhecido definido por
$$x\bullet y = x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_Ny_N,$$ onde $x = (x_1,\dots,x_N)$ e $y = (y_1,\dots,y_N).$
Produtos Hermitianos aparecem em espaços vetoriais complexos, e os físicos estudando mecânica quântica são bem familiarizados com essas idéias.
Nós consideramos para começar o espaço (complexo) de polinômios trigonométricos
$$E_N = \{ \sum_{k=-N}^{N} c_k \exp(i k x), c_k\in \mathbb{C} \}. $$
Observação. A variável $x$ contínua sendo real. (Este é um espaço de funções definidas na reta real e tomando valores complexos.)
Exercício. Qual a dimensão complexa desse espaço?
Existe uma "versão" real desse espaço (não é realificação álgebrica do mesmo) que nos denotaremos por
$$S_N = \{ a_0 + \sum_{k=1}^N (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) : a_k , b_k \mathbb{R} \}.$$
O produto interno aqui é
$(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\bar{g}dx$. Note que $g$ é conjugada na expressão.
Voltemos a considerar a equação da onda,
$$ u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 . $$
Se nós considerarmos o nosso espaço de funções admissíveis como sendo o espaço $E_N$, então a equação da corda se torna um sistema equações lineares de dimensão finita, e de segunda ordem. Porquê?
Tomemos o seguinte exemplo.
Considere o seguinte exemplo em $\mathbb{R}^2$.
Considere o sistema linear
$$ \left( \begin{array}{c}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array} \right)
.$$
Os autovalores dessa equação são distintos, ambos negativos.
Calcule-os.
Em outras palavras, meu sistema $\ddot{x} = Lx$ com $L$ auto-adjunto com respeito ao produto Euclidiano.
Vamos denotar os auto-valores por $-\omega_1^2$ e $-\omega_2^2$. Como os auto-valores são distintos os autovetores correspondentes são ortogonais.
Além do mais como $L$ é auto-adjunto o sistema linear acima "desconcerta." (Ou separação em modos normais, como os físicos os chamariam.)
Seja $\{e_1,e_2\}$ os autovetores de $L$. Eles formam uma base de $\mathbb{R}^2$. O sistema acima pode ser re-escrito como
$$\frac{d^2}{dt^2}(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2) = L(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2),$$
ou
$$\ddot{x}_1 = -\omega_1^2 x_1(t), \ddot{x}_2 = -\omega_2^2 x_2(t). $$
Portanto, $x_1(t) = a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t)$ e
$x_2(t) = a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t).$
Portanto a solução geral do problema pode ser expressa como,
$
\left( \begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \end{array} \right) = (a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t))e_1 +
(a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t))e_2.$
$$ \left( \begin{array}{c}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array} \right)
.$$
Os autovalores dessa equação são distintos, ambos negativos.
Calcule-os.
Em outras palavras, meu sistema $\ddot{x} = Lx$ com $L$ auto-adjunto com respeito ao produto Euclidiano.
Vamos denotar os auto-valores por $-\omega_1^2$ e $-\omega_2^2$. Como os auto-valores são distintos os autovetores correspondentes são ortogonais.
Além do mais como $L$ é auto-adjunto o sistema linear acima "desconcerta." (Ou separação em modos normais, como os físicos os chamariam.)
Seja $\{e_1,e_2\}$ os autovetores de $L$. Eles formam uma base de $\mathbb{R}^2$. O sistema acima pode ser re-escrito como
$$\frac{d^2}{dt^2}(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2) = L(x_1(t)e_1 + x_2(t)e_2),$$
ou
$$\ddot{x}_1 = -\omega_1^2 x_1(t), \ddot{x}_2 = -\omega_2^2 x_2(t). $$
Portanto, $x_1(t) = a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t)$ e
$x_2(t) = a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t).$
Portanto a solução geral do problema pode ser expressa como,
$
\left( \begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \end{array} \right) = (a_1 \sin(\vert\omega_1\vert t) + b_1 \cos(\vert\omega_1\vert t))e_1 +
(a_2 \sin(\vert\omega_2\vert t) + b_2 \cos(\vert\omega_2\vert t))e_2.$
A ortogonalidade de $e_1,e_2$ têm um papel fundamental na solução do problema de Cauchy para a equação de segunda ordem acima.
Por exemplo, dados
$\left( \begin{array}{c}
x_1(0) \\
x_2(0) \end{array} \right)$ e
$\left( \begin{array}{c}
\dot{x}_1(0) \\
\dot{x}_2(0) \end{array} \right)$, $a_i,b_i$ acima podem ser determinados através de projeções ortogonais nos vetores $e_1,e_2$.
De volta à equação da onda,
\dot{x}_1(0) \\
\dot{x}_2(0) \end{array} \right)$, $a_i,b_i$ acima podem ser determinados através de projeções ortogonais nos vetores $e_1,e_2$.
De volta à equação da onda,
seja $L = \frac{d^2}{dx^2}$ atuando no espaço $E_N$ acima. Note que $\exp(ikx)$ é autovetor (autofuncão de $L$) com autovalor $-k^2$.
Observação. No caso geral, $L = a^2 \frac{d^2}{dx^2}$ os autovalores são $-a^2 k^2$.
De acordo com a nossa discussão acima,
a solução geral do sistema
$u_{tt} = L u$ no espaço $E_N$ é dada por
$$u(x,t) = \sum_{k = -N}^{k = N} (a_k \sin(k t) + b_k \cos(k t))\exp(i k x).$$
Agora dados $u(x,0) = \phi(x) \ in E_N$ e $u_t(x,0) = \psi(x) \in E_N$ como calcular $a_k,b_k$ acima?
Use projeção ortogonais!
O próximo passo é considerar o problema de Cauchy para a equação da corda com condição de fronteira periódica com condições iniciais mais gerais, por exemplo funções do tipo $\vert x\vert (onda tipo serra) ou uma onda quadrada . Para isso nós precisamos falar sobre a idéia de série de Fourier. A idéia é representar qualquer função períodica (uma onda ou sinal períodico) como uma série infinita de senos e cosenos.
Nós pontos de discontinuidade, no limite $N\to \infty$ as curvas $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{N}(a_0 \cos(kx) + b_0\sin(kx))$ têm um superávit na forma de um segmento vertical cujo tamanho pode calculado explicitamente. Esse segmento extra é conhecido como zumbido de Gibbs, ou fenômeno de Gibbs.
Você pode visualizar o fenômeno de Gibbs com o seguinte Java Applet: http://lcavwww.epfl.ch/~prandoni/dsp/gibbs/gibbs.html .
Observação. No caso geral, $L = a^2 \frac{d^2}{dx^2}$ os autovalores são $-a^2 k^2$.
De acordo com a nossa discussão acima,
a solução geral do sistema
$u_{tt} = L u$ no espaço $E_N$ é dada por
$$u(x,t) = \sum_{k = -N}^{k = N} (a_k \sin(k t) + b_k \cos(k t))\exp(i k x).$$
Agora dados $u(x,0) = \phi(x) \ in E_N$ e $u_t(x,0) = \psi(x) \in E_N$ como calcular $a_k,b_k$ acima?
Use projeção ortogonais!
O próximo passo é considerar o problema de Cauchy para a equação da corda com condição de fronteira periódica com condições iniciais mais gerais, por exemplo funções do tipo $\vert x\vert (onda tipo serra) ou uma onda quadrada . Para isso nós precisamos falar sobre a idéia de série de Fourier. A idéia é representar qualquer função períodica (uma onda ou sinal períodico) como uma série infinita de senos e cosenos.
Nós pontos de discontinuidade, no limite $N\to \infty$ as curvas $S_N(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{N}(a_0 \cos(kx) + b_0\sin(kx))$ têm um superávit na forma de um segmento vertical cujo tamanho pode calculado explicitamente. Esse segmento extra é conhecido como zumbido de Gibbs, ou fenômeno de Gibbs.
Você pode visualizar o fenômeno de Gibbs com o seguinte Java Applet: http://lcavwww.epfl.ch/~prandoni/dsp/gibbs/gibbs.html .
Esse "zumbido" só aparece no limite, i.e. quando $\lim_{N\to \infty}S_N(x)$.
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