Funções de Green (ou função causal da influência de um distúrbio no instante $a$ no ponto $x$.)

Princípio de linearidade ou superposição. 
Seja $A$ um operador linear e sejam $\phi_1,\phi_2$ soluções da equação $Au = g_1$ e $Au = g_2$ respectivamente.
Então $(\phi_1 + \phi_2)$ é solução da equação $Au = \phi_1 + \phi_2$.

Aqui $A$ pode ser uma equação diferencial ordinária, ou uma equação diferencial parcial, e o espaço de funções onde o operador atua satisfaz condições de fronteira apropriadas.

A solução $u$ de uma equação linear do tipo $Au = g$ representa a resposta do sistema ao distúrbio (externo) $g$.

Superposição nos permite considerar os efeitos de perturbações individualmente.

Portanto nós vamos considerar primeiro perturbações que são puntuais. Integração (na forma de convolução) vai nos permitir considerar perturbações mais gerais.

Definição. Uma seqüência de funções $(\delta_N)$  do tipo $\delta$ é uma seqüência de funções positivas com suporte compacto concentrado na origem $x = 0$, e que satisfaz as seguintes propriedades

$\int_{\mathbb{R}} \delta_N dx = 1,$ e
$\overline{ \text{suporte}(\delta_N) } = \overline{ \{ x\in\mathbb{R}: \delta_N(x) \neq 0 \} } \to \{0\}$ quando $N\to \infty$.

O exemplo que nós vamos considerar aqui é a sequência de funções
$\delta_N(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
N, & \vert x\vert \leq 1/2N \\
0, & \vert x\vert > 1/2N.
\end{array}
\right.$

Portanto $\delta_N(x)$ não precisa nem ser contínua. Antes de provarmos uma propriedade fundamental das seqüências do tipo delta, nós demonstraremos o seguinte fato auxiliar.

Lema. Se $g(x)$ é contínua em $I = [a,b]$ e $h(x)$ é integrável e positiva em $I = [a,b]$ então
$\exists c \in [a,b]$ t.q. $g(c) = \frac{1}{A}\int_{a}^{b}g(x)h(x)dx,$
onde $A = \int_I h(x) dx.$

E se $A = 0$? Nós vamos assumir primeiro que $A \neq 0$.

Prova. Sejam $m,M$ o máximo e mínimo (resp.) de $g(x)$ no intervalo $I$, i.e. $m \leq g(x) \leq M, \forall x\in I$. Como consequência, $ m \int_{a}^{b}h(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)h(x) dx  \leq
M \int_{a}^{b} h(x)dx$, ou ainda que $m \leq \frac{1}{A}\int_{a}^{b}g(x)h(x) dx \leq M$ assumindo que $A\neq 0$.

A continuidade de $g(x)$ implica que as quotas $m,M$ pertencem a imagem de $g(x)$. Além disso, pelo teorema do valor intermediário, qualquer valor entre $m,M$ é alcançado pela função $g(x)$.
(O intervalo $[m,M]$ está contido na imagem de $g(x)$.)

Isso conclui a demonstração do lema.  Q.E.D.

Prove que se $A = 0$, sob a hipótese que $h(x)$ é positiva e integrável, então $h(x)$ é zero.
Integrabilidade aqui é no sentido de Riemann. Acho que o problema é válido para funções integráveis no sentido de Lebesgue.

Será que nós podemos provar o lema se $\phi(x)$ puder tomar valores negativos, mas a integral de $\phi(x)$ é positiva? Prove ou ache um contra-exemplo. (Exercício.)

De volta ao mundo dos mortais, nós podemos provar o seguinte

Proposição. Se $g(x)$ for contínua então e $(\delta_N(x)$ é uma função do tipo delta,
$$\lim_{N\to \infty} \int_{\mathbb{R}}g(x) \delta_N(x) dx = g(0).$$

Em análise funcional nós diríamos que a seqüência $(\delta_N(x))$ converge fracamente.
Pense que o mapa $g(x) \mapsto \int_{\mathbb{R}}(\underline{\bullet})\delta_N(x) dx$ define um funcional no espaço de funções contínuas. O limite desse funcional é o que os físicos chamam de função delta (de Dirac), ou $\delta(x)$.

Formalmente $\delta[g(x)] = g(0)$.

A prova da proposição é uma aplicação direta da nossa versão acima do teorema do valor médio para integrais.

Uma conseqüência básica dessas idéias é a idéia de função de Green causal.

Definição. A função de Green (causal) $G(x;a)$ é a solução do problema de Cauchy
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d y}{dx} - f(x)y = \delta(x - a) , \\
y(x_0) = 0 , a > x_0.
\end{array}
\right.$

Em geral nós iniciamos o cronômetro em $x = 0$.

Como interpretar essa última equação propriamente? Mais precisamente, como interpretar $G(x;a)$ rigorosamente?

Seja $y_N(x;a)$ a solução do problema de Cauchy
$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dy}{dx} - f(x)y = \delta_N(x-a),\\
y(0) = 0
\end{array}
\right.$

onde $(\delta_N(x-a))$ é uma seqüência de funções do tipo delta concentrada perto no ponto $a$.

Definição. $G(x;a) = \lim_{N \to \infty} y_N(x)$.

Nós vamos ver que esse limite não depende da escolha da seqüência do tipo delta.

Para mostrar que a função $G(x;a)$ é bem definida nós vamos retroceder um pouco e relembrar algumas formulas do curso de Cálculo 4.

A solução de uma equação linear não homogênea é da forma $y_N(x) = c(x) y_0(x)$ onde $y_0$ é a solução da equação homogênea associada.

A função $c(x)$ é obtida substituindo o "chute" $c(x)y_0(x)$ na equação não homogênea.

A solução geral fica,
$y_N(x) = \int_0^x \exp(\int_s^x f(t) dt) \delta_N(s) ds.$

Proposição. A função de Green $G(x;a)$ é dada pela fórmula
$G(x;a) =
\left\{\begin{array}{ll}
0, & x < a \\
\exp(\int_a^x f(t) dt) & x \geq a.
\end{array}
\right.$

A prova depende da propriedade fundamental das seqüências do tipo delta. Da fórmula fórmula nós inferimos que $G(x;a)$ é descontínua em $x=a$. A resposta do sistema é unitária no instante da perturbação $\delta(x-a)$.

Como exercício eu pedi que vocês calculasses a função de Green do seguinte problema de Cauchy para a EDO de segunda ordem (equações de Newton) do pêndulo simples:

$\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{-k}{m}x + \delta(x-a) \\
x(0) = \dot{x}(0) = 0.
\end{array}
\right.$

Isso descreve a equação de um pêndulo inicialmente em repouso e que sofre uma pancada instantânea no instante $t = a$.

Em resumo, o formalismo de funções é bastante conveniente quando calcularmos soluções numéricas e ou analíticas de EDP's lineares.