A transformada de Fourier I: motivações e exemplos

A transformada de Fourier é um limite formal da série de Fourier de uma função $L$-periódica no caso em que $L\to \infty$.

Quando uma função têm período $2\pi$ as únicas freqüências em $f(x)$ são números inteiros. Mas quando $f(x)$ não é periódica todas as freqüências são a priori permitidas.

Intuitivamente, como nós vamos ver em breve, a transformada de Fourier "mede" a presença de $\exp(ikx)$ na função $f(x)$.

Existem duas etapas na teoria de integrais de Fourier. A primeira é chamada análise spectral e consiste de calcular a distribuição de freqüências presentes no "sinal" f(x), o segundo passo consiste em reconstruir o sinal $f(x)$ a partir da sua distribuição de freqüencias $\widehat{f}(k)$.  Em suma,

1. $\widehat{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\exp(-ikx) dx,$
2. $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(k) \exp(ikx) dk.$   

Nossa convenção é que somente a transformada $\widehat{f}(k)$ leva o fator $\frac{1}{2\pi}$. 


Nossa hipótese fundamental daqui em diante é que $f(x)$ é absolutamente integrável na reta real,
$\int_{\mathbb{R}}\vert f(x)\vert dx < \infty.$ A medida que formos precisando de mais hipóteses, vamos restringir a classe de "sinais" f(x) que trabalharemos.

"Teorema." O grau de suavidade de $f(x)$ controla o quão rápido $\widehat{f}(k)$ tende à zero.

Antes de procedermos com a teoria, vamos experimentar com alguns exemplos.
As transformadas fundamentais, eu diria.

Ex. 1: $f(x) = \delta(x) \Rightarrow \widehat{f}(k) = 1.$

Ex. 2: $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \vert x\vert < L \\ 0, & \vert x\vert > L \end{array} \right.$
Você pode calcular que $\widehat{f}(k) \propto \sin(k L)/L,$ e a constante de proporcionalidade fica por sua conta.

Ex. 3: $f(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} exp(-ax), & x \geq 0 \\ 0, & x < 0. \end{array} \right.$ Assumindo $a > 0$ é claro.
Verifique que $\widehat{f}(k) \propto \frac{1}{a + ik}.$

O pólo em $k = i a$ está relacionado com a descontinuidade da função em $x=0$. Por quê? Que tipo de descontinuidades geram pólos?

E.g. 4: $f(x) = \exp(-a \vert x\vert), a > 0.$  A transformada não têm pólos dessa vez! Verifique que $\widehat{f}(k) \propto 1/(a^2 + k^2).$

Ex. 5: E a transformada de uma função constante?
Formalmente falando, a resposta é a função $\delta(k)$. Mas a explanação exige que nos mergulhemos na teoria de funções generalizadas.

Consulte, o livro do Lighthill "Fourier Integrals and Generalized Functions."

Antes de falarmos da teoria de transformadas de Fourier rigorosamente, vamos nos aventurar um pouco mais nos aspectos computacionais.

Mais tarde nós veremos que transformadas de Fourier são bastante úteis no cáculo de funções de Green de operadores lineares.

A próxima pergunta é a seguinte.
Qual é a relação entre $\widehat{f}(k)$ e $\widehat{f'}(k)$? (Se é que elas estão relacionadas.)

Podemos nos perguntar sobre noções semelhantes, como a relação entre a transformada de Fourier e integrais, e a transformada de Fourier e o operador de translação. (Mais sobre esse tópico mais tarde.)

Dada $f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(ikx)$, a derivada $f'$ têm série de Fourier $ \sum_{k=-\infty}^{\infty} ikc_k \exp(ikx)$.

No mundo de integrais de Fourier, essa regra se torna
$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(k)\exp(-ikx)dk \Rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(k)\exp(-ikx)dk$ e da pela fórmula de inversão de Fourier, $\widehat{f'}(k) = ik\widehat{f}(k)$.
Por outro lado, a transformada da integral $F(x) = \int f(x) dx $ é $\widehat{F}(k) = \widehat{f}(k)/ik.$

Outra propriedade computacional interessante da transformada de Fourier, útil em processamento de sinais, é
$f(x-d) = \int_{\mathbb{R}}\exp(-ikd)\widehat{f}(k)\exp(ikx)dx.$

As regras computacionais para a integral de Fourier podem ser resumidas na seguinte lista:

1. $f'(x)$  têm transformada $ik \mathbb{f}(k)$ e portanto a transformada da derivada decai mais devagar quando $k\to \infty$. ("As freqências mais altas aumentaram.") 
2. $\int f(x) dx$ têm transformada $\widehat{\int f(x) dx}(k) = \widehat{f}(k)/ik$, e a transformada decai mais rápido. ("A distribuição de freqüências fica mais concentrada.)
3. $f(x - d)$ têm transformada $\exp(-ikd) \widehat{f}(k)$, i.e. "transladando o sinal $f(x)$ muda a fase de $\widehat{f}(k)$."

Como dois exercícios, calcule $\widehat{H''}(k)$ onde $H(x)$ é a função chapéu

e calcule a transformada da curva normal $f(x) = \exp(-x^2/2)$. (Dica: a transformada é uma curva normal também.)