EDPs I, aula 1: De onde vêm as EDPs?

Na quarta-feita nós vimos alguns exemplos básicos de EDPs lineares incluindo a equação de advecção
$c_t(x,t) + (U(x) c(x,t)) = 0 \text{(ADV)}$ e a equação da onda $u_{tt} - a^2 u_{xx}=0 \text{(ONDA)}$.

Nós vimos que a equação de adversão descreve o transporte da concentração de uma certa substância por um campo de vectores $U$ no domínio de definição $D$ de $c(x,t)$. No nosso caso $c(x,t)$ esta definida para $t\geq 0$ e $-\infty<x< \infty$.

Para simplificar nossas considerações iniciais, nós assumimos que $U$ era um campo constante e que o nosso universo só têm uma variável espacial.

No caso de um campo constante, o problema de Cauchy para a equação de adversão é fácil de resolver.
Dada uma distribuição inicial da concentração $c_0(x)$ a solução do problema de valor inicial (abr. PVI) é
$$c(x,t) = c_0(x - Ut).$$
Em outras palavras, dependendo do sinal de $U$ a distribuição inicial se move para a direita ou para esquerda.
Como nós sabemos, a translação do argumento por um factor negativo produz uma translação à direita do gráfico da função.

Uma solução teórica da equação de advecção é possível através do método das características. 
As características de ADV são as trajectórias do campo de vector definido pela equação
$$\dot{x} = U(x), x(0) = x_0 (\text{CAR}).$$
Intuitivamente se nós colocarmos um marcador no ponto $x_0$ a equação descreve como essa partícula se move sob a acção do campo $U(x)$.

Um dos nossos primeiros exercícios de aquecimento foi uma conta onda calculávamos $c(x,t)$ como uma função de $x(t;x_0)$. Às vezes a função $x(t;x_0)$ é chamado o fluxo do campo CAR.
Um problema desse método é que o cálculo de $c(x,t)$ se $t \gg 1$ exige o conhecimento de $x(t,x_0)$   para longos intervalos de tempos.
Nesse sentido a introdução de métodos práticos para o cálculo numérico das soluções se torna inevitável.

Em seguida nos conversamos sobre a equação da corda, ou equação da onda.

Nós vimos que a mudança de coordenadas $\xi  = x - at$ e $\eta = x + at$ reduz a equação da corda à uma forma muito simples
$$(u_{\xi})_{\eta} = 0.$$ Aplicando do teorema fundamental do cálculo nós pudemos obter a forma geral da solução como
$$u(x,t) = F(x - at) + G(x - at).$$
A presença de duas funções arbitrárias no lado direito nos leva a concluir que o PVI para a equação de onda demanda duas condições iniciais, tipicamente dadas como
$u\vert_{t=0} = \phi(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \psi(x)$.
Através da formula de D'Alembert nós podemos escrever a solução do PVI para $t\ge 0$ e $x \in (-\infty,\infty)$ explicitamente.

O Filippo perguntou se é possível resolver a equação da corda conhecendo somente a forma da corda para dois valores distintos de tempo, i.e., $u\vert_{t=0}$ and $u\vert_{t=1}$. Meu chute é que provavelmente sim.

Outra vantagem da fórmula de D'Alembert é que ela fornece informação qualitativa sobre a evolução de $u(x,t)$.
Isso foi ilustrado através dos "problemas cinematográficos.