Derivação da equação da corda

Seguindo o Mark Embree,
eu vou postar uma diagrama aqui que exemplifica a situação típica  da perturbação de uma corda fina carregada com miçangas.

Diagrama 1.

Em geral essa seria a situação típica resultante da perturbação da corda por uma força externa vertical aplicada à corda que estava inicialmente em repouso.

A massas $m_i$ (denotadas pelos pontões gordos) podem se deslocar horizontalmente, e verticalmente.

Além do mais, os ângulos $\phi_i$'s podem ser determinados através de formulas trigonométricas (exercício).

Por exemplo,

Supondo que a deformação entre os segmentos de corda entre quaisquer duas massas seja pequena, a interação entre quaisquer duas massas se dá através da lei de Hook. Nós comentaremos mais à respeito da deformação da corda sob efeito de uma perturbação externa mais tarde.

Se a perturbação for suficientemente pequena, os livros em geral assumem que a tensão na corda é aproximadamente constante.

Em física, supõe-se em geral que um fio de material elástico se comporta como uma mola linear, i.e. a resistência à obedece a lei de Hook.

Suponha também que uma certa tensão $\tau$ foi aplicada à corda.

Dessa forma, a força sofrida pela massa $m_j$ no modelo é (approximadamente)
$$\tau (\cos(\phi_j) - \cos(\phi_{j-1}), \sin(\phi_j) - \sin(\phi_{j-1})).$$

Os ângulos $\phi_j$ ficam determinados pelos deslocamentos através de fórmulas trigonométricas simples involvendo os deslocamentos horizontais e verticais,
$\cos(\phi_j) = \frac{l_j + x_{j+1} - x_j}{\sqrt{(l_j + x_{j+1} - x_j)^2 + (y_{j+1} - y_j)^2}}.$

Se nós assumirmos que $l_j \gg \vert x_{j+1} - x_j\vert , l_j \gg \vert y_{j+1} - y_j\vert $ então nós temos que,
$\cos(\phi_j) \approx 1$ e $\sin(\phi_j) \approx \frac{y_{j+1} - y_j}{l_j}.$

Intuitivamente, se $l_j = h,\forall j$ então $\vert x_{j+1} - x_j\vert = O(h^2)$ etc.

Como exercício derive as outras fórmulas e aproximações necessárias para o cálculo da força de Hooke atuando em cada massa, ou miçanga.

No final, se nós fizermos os cálculos corretamente, em primeira ordem nós podemos assumir que a componente da força restauradora é maioritariamente vertical.

Portanto nós podemos utilizar o seguinte diagrama de dislocamento vertical da corda. Daqui em diante, para evitar confusão eu vou denotar os pontos no eixo horizontal onde as massas $m_i$ estavam inicialmente em repouso por $x_j$ e o deslocamento vertical dessas massas  por $u(x_j) = u_j$.  devido A força de tensão vertical é denotada por $F$. (Com os seus dedos você toca o violão de uma corda. )

Obs.: No diagrama a corda sofre uma dilatação. O comprimento da corda dilatada é fácil de calcular,

Diagrama 2.

$l' = \sqrt{h^2 + u_1}^2 + \sqrt{h^2 + (u_1 - u_2)^2} + \dots \sqrt{h^2 + (u_N - u_{N-1})^2} + + \sqrt{h^2 + u_N^2}.$

Uma expansão em séries de Taylor para $\sqrt{1 + \epsilon}$ nos dá nesse caso,

$l' =   h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_1 - u_2)^2}{h^2} + \dots +  O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_{N} - u_{N-1})^2}{h^2} + O(2))  + h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)).$
Agora os termos $\Delta u_j = u_j - u_{j-1}$ são todos da ordem $O(h^2)$ de acordo com a nossa hipótese.

O tamanho inicial da corda é $l \approx h N$ e $h = O(1/N)$. Portanto,
$l' = l + h\sum_j \frac{\Delta u_j^2}{h^2} + O(h^3)$.  O segundo termo no lado direito é uma soma de $N$ termos de ordem $h^2$ e portanto nós podemos estimar a soma no lado direito como
$l'= l + O(h^2)$.

A variação em comprimento $\Delta l$ e da ordem de $h$.

Considere agora as equações de movimento de cada $m_i$.
Nossa hipótese simplificadora é que $m_i = m$ e que a distância entre elas é fixa.

No limite quando $h,m \to 0$ nós vamos considerar o caso $m/h \to \text{const.}$, i.e. a distribuição linear de massa tende tende à uma constante.

As equações de movimento são:

$\left\{
\begin{array}{ll}
m \ddot{u}_1 = & -F\frac{u_1}{h} + F\frac{u_2 - u_1}{h}, \\
m \ddot{u}_2 = & -F\frac{u_2 - u_1}{h} + F\frac{u_3 - u_2}{h},\\
\vdots & \vdots \\
m \ddot{u}_N = & -F\frac{u_N - u_{N-1}}{h} + F\frac{u_N }{h}.
\end{array}
\right. $

Dividindo ambos os lados por $h$ (e a razão vai ficar clara logo),
nós obteremos o sistema linear de segunda ordem da forma,

$\frac{m}{h} \mathbf{u} =\mathbf{ -K u},$
onde $\mathbf{u} = (u_1,u_2,\dots,u_N)$ e
$K = \frac{-F}{h^2}
\left(
\begin{array}{cccccc}
2 &  -1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\
-1 & 2 & -1 & 0 &  \dots & \dots\\
 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 &  \dots & -1&  -2 & -1 & 0 \\
0 &  \dots & 0 & -1&  -2 & -1 \\
0 &  0 & \dots & \dots &  -1 & 2 \\
\end{array}\right).$

A matriz tridiagonal $\mathbf{K}$ é extremamente importante em análise númerica, e está relacionada com um método de discretização chamado diferenças finitas.  A matriz $K$ é quadrada e têm dimensão $N$. Quando $h\to 0$ e o número de miçangas tende ao infinito, nós vamos ter no limite um sistema linear de "dimensão infinita."

Para concluir a nossa estória, considere uma malha no intervalo $[0, l]$. Nós estamos amostrando uma certa função $u(x,t)$ em certos pontos $x_k = 0 + kh$, igualmente espaçados.

Ponto-a-ponto, nos nós da malha, nós temos que
$\ddot{u}(x_j,t) = -F\frac{u(x_{j+1},t) - 2 u(x_j,t) + u(x_{j-1},t)}{h^2},$
e um simples argumento involvendo séries de Taylor vai convence-lo de que a razão no lado direito é de fato uma aproximação para
$u_{xx}(x_j,t)$ com erro de ordem $O(h)$.

Portanto,
$\frac{m}{h}u_{tt}(x_j,t) = F u_{xx}(x_j,t) + O(h). $

No limite $h,m\to 0$, $m/h \to \rho > 0$ e nós recuperamos a equação da corda. A velocidade ao quadrado $c^2$ que  aparece na equação da corda é a razão entre $F/\rho$.