eu vou postar uma diagrama aqui que exemplifica a situação típica da perturbação de uma corda fina carregada com miçangas.
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Diagrama 1. |
A massas m_i (denotadas pelos pontões gordos) podem se deslocar horizontalmente, e verticalmente.
Além do mais, os ângulos \phi_i's podem ser determinados através de formulas trigonométricas (exercício).
Por exemplo,
Supondo que a deformação entre os segmentos de corda entre quaisquer duas massas seja pequena, a interação entre quaisquer duas massas se dá através da lei de Hook. Nós comentaremos mais à respeito da deformação da corda sob efeito de uma perturbação externa mais tarde.
Se a perturbação for suficientemente pequena, os livros em geral assumem que a tensão na corda é aproximadamente constante.
Em física, supõe-se em geral que um fio de material elástico se comporta como uma mola linear, i.e. a resistência à obedece a lei de Hook.
Suponha também que uma certa tensão \tau foi aplicada à corda.
Dessa forma, a força sofrida pela massa m_j no modelo é (approximadamente)
\tau (\cos(\phi_j) - \cos(\phi_{j-1}), \sin(\phi_j) - \sin(\phi_{j-1})).
Os ângulos \phi_j ficam determinados pelos deslocamentos através de fórmulas trigonométricas simples involvendo os deslocamentos horizontais e verticais,
\cos(\phi_j) = \frac{l_j + x_{j+1} - x_j}{\sqrt{(l_j + x_{j+1} - x_j)^2 + (y_{j+1} - y_j)^2}}.
Se nós assumirmos que l_j \gg \vert x_{j+1} - x_j\vert , l_j \gg \vert y_{j+1} - y_j\vert então nós temos que,
\cos(\phi_j) \approx 1 e \sin(\phi_j) \approx \frac{y_{j+1} - y_j}{l_j}.
Intuitivamente, se l_j = h,\forall j então \vert x_{j+1} - x_j\vert = O(h^2) etc.
Como exercício derive as outras fórmulas e aproximações necessárias para o cálculo da força de Hooke atuando em cada massa, ou miçanga.
No final, se nós fizermos os cálculos corretamente, em primeira ordem nós podemos assumir que a componente da força restauradora é maioritariamente vertical.
Portanto nós podemos utilizar o seguinte diagrama de dislocamento vertical da corda. Daqui em diante, para evitar confusão eu vou denotar os pontos no eixo horizontal onde as massas m_i estavam inicialmente em repouso por x_j e o deslocamento vertical dessas massas por u(x_j) = u_j. devido A força de tensão vertical é denotada por F. (Com os seus dedos você toca o violão de uma corda. )
Obs.: No diagrama a corda sofre uma dilatação. O comprimento da corda dilatada é fácil de calcular,
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Diagrama 2. |
Uma expansão em séries de Taylor para \sqrt{1 + \epsilon} nos dá nesse caso,
l' = h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_1 - u_2)^2}{h^2} + \dots + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{(u_{N} - u_{N-1})^2}{h^2} + O(2)) + h(1 + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{h^2} + O(2)).
Agora os termos \Delta u_j = u_j - u_{j-1} são todos da ordem O(h^2) de acordo com a nossa hipótese.
O tamanho inicial da corda é l \approx h N e h = O(1/N). Portanto,
l' = l + h\sum_j \frac{\Delta u_j^2}{h^2} + O(h^3). O segundo termo no lado direito é uma soma de N termos de ordem h^2 e portanto nós podemos estimar a soma no lado direito como
l'= l + O(h^2).
A variação em comprimento \Delta l e da ordem de h.
Considere agora as equações de movimento de cada m_i.
Nossa hipótese simplificadora é que m_i = m e que a distância entre elas é fixa.
No limite quando h,m \to 0 nós vamos considerar o caso m/h \to \text{const.}, i.e. a distribuição linear de massa tende tende à uma constante.
As equações de movimento são:
\left\{ \begin{array}{ll} m \ddot{u}_1 = & -F\frac{u_1}{h} + F\frac{u_2 - u_1}{h}, \\ m \ddot{u}_2 = & -F\frac{u_2 - u_1}{h} + F\frac{u_3 - u_2}{h},\\ \vdots & \vdots \\ m \ddot{u}_N = & -F\frac{u_N - u_{N-1}}{h} + F\frac{u_N }{h}. \end{array} \right.
Dividindo ambos os lados por h (e a razão vai ficar clara logo),
nós obteremos o sistema linear de segunda ordem da forma,
\frac{m}{h} \mathbf{u} =\mathbf{ -K u},
onde \mathbf{u} = (u_1,u_2,\dots,u_N) e
K = \frac{-F}{h^2} \left( \begin{array}{cccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ -1 & 2 & -1 & 0 & \dots & \dots\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & -1& -2 & -1 & 0 \\ 0 & \dots & 0 & -1& -2 & -1 \\ 0 & 0 & \dots & \dots & -1 & 2 \\ \end{array}\right).
A matriz tridiagonal \mathbf{K} é extremamente importante em análise númerica, e está relacionada com um método de discretização chamado diferenças finitas. A matriz K é quadrada e têm dimensão N. Quando h\to 0 e o número de miçangas tende ao infinito, nós vamos ter no limite um sistema linear de "dimensão infinita."
Para concluir a nossa estória, considere uma malha no intervalo [0, l]. Nós estamos amostrando uma certa função u(x,t) em certos pontos x_k = 0 + kh, igualmente espaçados.
Ponto-a-ponto, nos nós da malha, nós temos que
\ddot{u}(x_j,t) = -F\frac{u(x_{j+1},t) - 2 u(x_j,t) + u(x_{j-1},t)}{h^2},
e um simples argumento involvendo séries de Taylor vai convence-lo de que a razão no lado direito é de fato uma aproximação para
u_{xx}(x_j,t) com erro de ordem O(h).
Portanto,
\frac{m}{h}u_{tt}(x_j,t) = F u_{xx}(x_j,t) + O(h).
No limite h,m\to 0, m/h \to \rho > 0 e nós recuperamos a equação da corda. A velocidade ao quadrado c^2 que aparece na equação da corda é a razão entre F/\rho.
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