Suponha que $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ é contínua para cada $n$ e que $(f_n)$ converge uniformemente para cada $f$ em $[a,b]$. Então $\int_a^b f_n(x) dx \to \int_a^b f(x) dx$.
- Suponha que a série trigonométrica $a_0/2 + \sum^\infty_{n=1}(a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx))$ é uniformemente convergente no intervalo $[-\pi,\pi]$. Seja $f(x)$ essa função limite. Prove que essa série coincide com a série de Fourier de $f(x)$.
- Mostre que para uma função contínua $2\pi$ periódica $f$, se $(f,\exp(ikx))=0$ ou equivalentemente $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx) dx = 0$ para todo $k$ então $f$ é necessariamente a função constante igual à zero.
- Prove que se a série de Fourier de uma função $f(x)$ for uniformemente convergente, então essa série funções converge para $f(x)$.
Dicas para o segundo problema.
A função $g(y) = f(\arccos y)$ define uma função contínua para $y\in [-1,1]$. Portanto pelo teorema de aproximação de Weiertrass existe um polinômio $p(y)$ tal que $\max_{\vert y\vert \leq 1}\vert f(\arccos(y)) - p(y)\vert < \epsilon.$ Mas $T(x) = p(\cos(x))$ é um polinômio trigonométrico, e portanto
$\max_{x\in [0,\pi]}\vert f(x) - p(\cos(x))\vert < \epsilon.$
Portanto toda função contínua, e periódica pode ser aproximada uniformemente por um polinômio trigonométrico.
Portanto pelo teorema de Weierstrass existe uma seqüência de polinômios trigonométricos $(p_n)$ que converge uniformemente para $f(x)$.
Mas já que tomar as operações de tomar o limite e integração comutem no caso de convergência uniforme nós temos que,
$\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx = \lim_{n\to \infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) p_n(x) dx. $
Conclua a demonstração.
Dica para o terceiro problema. Combine os exercícios 1 e 3.
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