Suponha que f_n:[a,b]\to \mathbb{R} é contínua para cada n e que (f_n) converge uniformemente para cada f em [a,b]. Então \int_a^b f_n(x) dx \to \int_a^b f(x) dx.
- Suponha que a série trigonométrica a_0/2 + \sum^\infty_{n=1}(a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx)) é uniformemente convergente no intervalo [-\pi,\pi]. Seja f(x) essa função limite. Prove que essa série coincide com a série de Fourier de f(x).
- Mostre que para uma função contínua 2\pi periódica f, se (f,\exp(ikx))=0 ou equivalentemente \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx) dx = 0 para todo k então f é necessariamente a função constante igual à zero.
- Prove que se a série de Fourier de uma função f(x) for uniformemente convergente, então essa série funções converge para f(x).
Dicas para o segundo problema.
A função g(y) = f(\arccos y) define uma função contínua para y\in [-1,1]. Portanto pelo teorema de aproximação de Weiertrass existe um polinômio p(y) tal que \max_{\vert y\vert \leq 1}\vert f(\arccos(y)) - p(y)\vert < \epsilon. Mas T(x) = p(\cos(x)) é um polinômio trigonométrico, e portanto
\max_{x\in [0,\pi]}\vert f(x) - p(\cos(x))\vert < \epsilon.
Portanto toda função contínua, e periódica pode ser aproximada uniformemente por um polinômio trigonométrico.
Portanto pelo teorema de Weierstrass existe uma seqüência de polinômios trigonométricos (p_n) que converge uniformemente para f(x).
Mas já que tomar as operações de tomar o limite e integração comutem no caso de convergência uniforme nós temos que,
\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx = \lim_{n\to \infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) p_n(x) dx.
Conclua a demonstração.
Dica para o terceiro problema. Combine os exercícios 1 e 3.
Nenhum comentário:
Postar um comentário