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domingo, 14 de agosto de 2011

Lista de exercícios 2

Em análise nós provamos o seguinte. 

Suponha que f_n:[a,b]\to \mathbb{R} é contínua para cada n e que (f_n) converge uniformemente para cada f em [a,b]. Então \int_a^b f_n(x) dx \to \int_a^b f(x) dx
  1. Suponha que a série trigonométrica a_0/2 + \sum^\infty_{n=1}(a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx)) é uniformemente convergente no intervalo [-\pi,\pi]. Seja f(x) essa função limite. Prove que essa série coincide com a série de Fourier de f(x)
  2. Mostre que para uma função contínua 2\pi periódica f, se (f,\exp(ikx))=0 ou equivalentemente \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx) dx = 0 para todo k então f é necessariamente a função constante igual à zero. 
  3. Prove que se a série de Fourier de uma função f(x) for uniformemente convergente, então essa série funções converge para f(x)
Dicas para o segundo problema. 
A função g(y) = f(\arccos y) define uma função contínua para y\in [-1,1]. Portanto pelo teorema de aproximação de Weiertrass existe um polinômio p(y) tal que \max_{\vert y\vert \leq 1}\vert f(\arccos(y)) - p(y)\vert < \epsilon. Mas T(x) = p(\cos(x)) é um polinômio trigonométrico, e portanto 
\max_{x\in [0,\pi]}\vert f(x) - p(\cos(x))\vert < \epsilon. 
Portanto toda função contínua, e periódica pode ser aproximada uniformemente por um polinômio trigonométrico. 

Portanto pelo teorema de Weierstrass existe uma seqüência de polinômios  trigonométricos (p_n) que converge uniformemente para f(x)

Mas já que tomar as operações de tomar o limite e integração comutem no caso de convergência uniforme nós temos que,
\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx = \lim_{n\to \infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) p_n(x) dx.

Conclua a demonstração.

Dica para o terceiro problema. Combine os exercícios 1 e 3. 

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