Resumo da aula 3

Nós começamos por falar sobre como representar uma função periódica $\phi(x)$ de período $2\pi$ como uma série infinita (em geral), da forma

$\phi = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos(kx) + b_k\sin(kx)),$ ou como

$\phi = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(ikx). $

A igualdade aqui é formal, pois ainda não sabemos se a série de funções à direita converge ou não para a função na esquerda.

Dada uma função $\phi(x)$ o procedimento para obtermos uma série infinita foi através de ''projeções ortogonais''. Isso significa que
$\int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \exp(-ikx) dx = \dots + \int_{-\pi}^{\pi}c_{-2}\exp(-i2x) \exp(-ikx)dx + $
$ \int_{-\pi}^{\pi}c_{-1}\exp(-ix) \exp(-ikx)dx +  \int_{-\pi}^{\pi}c_{0} \exp(ikx)dx +\int_{-\pi}^{\pi}c_{1} \exp(ix)\exp(-ikx)dx + \dots .$

Usando a relação $(\exp(ikx),\exp(ilx)) = \int_{-\pi}^{\pi} \exp(ikx)\exp(ilx) dx =  0$ se $k\neq l$,
então,
$$c_k =(\phi(x),\exp(ikx))/(\exp(ikx),\exp(ikx)). $$

Mas dada a série  $ \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(ikx)$,

1. será que a série converge? E se ela converge, 
2. será que ela converge para a função original? 

A resposta para a primeira pergunta depende do comportamento da função original. Vamos começar com o caso onde $\phi(x)$ é $C^2$.  Isso foi motivado pelos nossos estudos da equação da corda e pela fórmula de D'Alembert. 

Primeiro nós devemos mostrar o seguinte,

Proposição.

Se $\phi(x) \in C^2(S^1)$, i.e. $\phi(x)$ é $C^2$ e periódica de período $2\pi$, então os coeficientes em
$\sum c_k \exp(ikx)$ têm decaimento quadrático,
$$\vert c_k\vert < A/\vert k\vert^2,$$
onde a constante $A$ só depende de $\phi$.

Primeiramente, todos os $c_k$'s são limitados, $$\vert c_k\vert  =  \vert \int \phi(x)\exp(-ikx) dx\vert \leq
\int \vert \phi(x) \exp(ikx)\vert dx = \int \vert \phi(x)\vert dx = M.$$

Prova consiste de uma aplicação direta de integração por partes,
$c_k = \int_{\pi}^{\pi} \phi(x)\exp(ikx) dx = \frac{-1}{ik}\int_{\pi}^{\pi} \phi(x) d(\exp(-ikx))    $
$ = \frac{-1}{ik}\phi(x)\exp(-ikx) \vert_{x=-\pi}^{x=\pi} + \frac{-1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi'(x) d(\exp(-ikx))$
$ = \frac{-1}{k^2}\phi'(x)\exp(-ikx) \vert_{x=-\pi}^{x=\pi} + \frac{1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi''(x) \exp(-ikx) dx,$
e portanto
$\vert c_k\vert \leq \vert \frac{1}{k^2}\int_{\pi}^{\pi} \phi''(x) \exp(-ikx) dx\vert \leq \frac{A}{kˆ2}.$
(Ache a constante $A$.)

Agora nós invocaremos Herr Weierstrass duas vezes,
a primeira para provarmos a convergência da série de Fourier de $\phi(x)$ e  na segunda vez nós utilizaremos um teorema de Weierstrass em teoria de aproximação.

Teorema. ( Teste de Weierstrass. ) A série de funções $\sum f_k(x)$ converge uniformemente se

1. $\vert f_k \vert \leq M_k$,
2. $\sum M_k < \infty$. (A série das quotas superiores converge.)

A prova pode ser encontrada em qualquer livro de análise clássica. (Cf. F. John e R. Courant, Intro. to Analysis and Calculus.) 

Corolário. A série de Fourier de uma função $C^2$ converge uniformemente para alguma função.

Quem é essa função limite? Você adivinhou corretamente se o seu chute for $\phi(x)$. Mas a prova não é tão banal. Na postagem anterior eu inclui uma prova desse fato. Outro fato interessante é que se $\phi(x)$ é analítica, i.e. $\phi(x)$ é a restrição de alguma função holomórfica ao intervalo $[-\pi,\pi]$,

a convergência da série de Fourier é super-rápida já que os coeficientes decaem exponencialmente. 

Por quê falávamos de séries de Fourier? 

Nosso objetivo era resolver o problema de Cauchy,

$u_{tt} - a^2u_{xx} = 0, u\vert_{t=0} = \phi(x), u_t\vert_{t=0} = \psi(x),$$

e com condições de fronteira periódicas: $u(x+2\pi,t) = u(x,t)$. 

Nós queremos provar que (supondo $a=1$) 

$$u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)) \exp(ikx),$$

é solução geral do problema de fronteiras, e em seguida utilizamos as condições iniciais para determinarmos os coeficientes na série infinita acima. 

Como exercício eu sugiro que você rescreva a o lado direito de $u(x,t)$ como 

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}(A_k e^{ik(t+x)} + B_k e^{ik(t-x)})$. 

Cada um termos $e^{ik(t \pm x)}$ é chamado uma onda, movendo-se à direita ou à esquerda. 

Verique que $e^{ik(t+x)}$ é solução da equação da onda. 

Portanto a solução geral é uma superposição de ondas. Superposição é uma propriedade muito útil dos modelos lineares.

Antes de continuarmos com a teoria geral, vejamos alguns exemplos práticos e computacionais de séries de Fourier. 

Nós vimos o exemplo da função, 

onda quadrada =
$f(x) = x$ em $[-\pi,\pi]$ estendida periodicamente ao longo reta real.

Os coeficientes da série de Fourier dessa função foram calculados em classe. 

Uma coisa intessante que está acontecendo na animação é a formação de um ruído nas extremidades do zig-zag. 

Por quê? 

Dica. A convergência não é uniforme.