Lista de exercícios 1 para o curso de PDEs

1. (Problema cinematográfico.) Esboçe quadros sucessivos da propagação da onda

usando a fórmula de D'Alembert.
Aqui $u\vert_{t=0}=\phi(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \psi(x)$. 
Assuma que o suporte (o conjunto de pontos onde a função não se anula) é um intervalo fechado de tamanho 1. Qualquer intervalo funciona.

2. Resolva o problema (1) mas reverta os papéis de $\phi$ and $\phi$.

3.  Mostre que o espaço $C^k(a,b)$ the funções no intervalo $[a,b]$ diferenciáveis até ordem $k$ forma um espaço vetorial linear.

4. Será que o subespaço do espaço de funções integráveis (no sentido de Riemann) no intervalo $[0,1]$ e que têm média 1 é um espaço linear?

5. Verifique of espaço de soluções da equação $\frac{d^2u}{dx^2} = 1$ não é um espaço linear.

O espaço natural para se estudar vários problemas da teoria de EDPs é o espaço $Lˆ2[a,b]$ que consiste de todas as funções $f$ que têm integral $\int_a^b f\bar{f} dx$ finita. (Nós dizemos que a "energia" da função $f$ é finita.) Nesse conjuntos existem funções que não são nem contínuas. O espaço $L^2[a,b]$ vêm equipado com um produto interno Hermitiano natural definido por
$$(f,g) = \int_a^b f\bar{g} dx.$$
(Assumindo que as funções podem assumir valores complexos.)

6. Mostre que os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes no intervalo $[0,1]$.
(a) $1,x,x^2,x^3 \dots$ ;
(b) $\exp(i k x)$ , $k \in \mathbb{Z}$ no intervalo $[0,2\pi]$.

7. Prove que o sistema de funções $\sin(n + \frac{1}{2})x, \cos(n + \frac{1}{2})x$ é um sistema ortogonal no intervalo $[0,\pi]$.

8. Mostre que os polinômios de Legendre $P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)$, $n=1,2,\dots$ forma um sistema ortogonal em $[-1,1]$.

9. Mostre que duas autofunções do operador $L = -\frac{d^2}{dx^2}$ definido no espaço $C^2((0,1))\cap C^1[0,1]$ e com condições de fronteira $(hu - u_x)\vert_{x=0} = u\vert_{x=1}=0$ são ortogonais se os autovalores são distintos.

Os próximos problemas são sobre a equação de adveção e a equação de onda, e sobre séries de Fourier.

10.  Resolva a equação $u_t + x u_x = 0$ para $u\vert_{t=0} = \sin(x)$.

11.  Encontre a solução do problema de Cauchy com $u\vert_{t=0} = \sin^3(x)$ e $u_t\vert_{t=0} = \sin(x)$ para equação da corda $u_{tt} - u_{xx} = 0$.

10. Será que a série de Fourier $1 + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{3}\cos(3x) + \dots$ pode ser a série de Fourier de alguma função continuamente diferenciável?

11.  Encontre o polinômio trigonométrico que melhor aproxima em $Lˆ2[-1,1]$ as funções $\vert x\vert$ e $\sin(x/2)$. Um polinômio trigonométrico de ordem $N$ é uma combinação linear de senos e cossenos com frequências de $1$ à $N$ e possivelmente um termo constante.

12. (Série de Fourier da função de Heaviside.) Considere a função de Heaviside. 

Nós vamos consider a extensão periódica dessa função na reta.
Primeiro nos definimos a função $s(x)$ (função "pulo") no intervalo $[-\pi,\pi]$ como
$$s(x) = \left\{           \begin{array}{ll}                               0 & \mbox{if }  -\pi < x < 0 \\                               1 & \mbox{if }  -\pi < x < 0 \\           \end{array} \right.$$
Determine a série de Fourier de $s(x)$. O que acontece nos pontos de descontinuidade?Avalie a função em $0,-\pi$ e $\pi$.

Observação. Embora tenhamos utilizado funções com valores complexos na construção da teoria de séries de Fourier, as séries de Fourier de uma uma função tomando somente valores reais é real. (Por quê?)